Considere a função: f R -> R, dada por f(x)=16x−x3.
a- Determine as raízes de f.
b- Determine os intervalos de crescimento e aqueles de decrescimento de f.
c- Determine os pontos de máximo/mínimo locais de f e os valores de f nesses pontos.
d- Analise a concavidade do gráfico de f.
e- Esboce o gráfico de f.
Será que alguem poderia me ajudar estou com muitas problemas para resolver e dificuldades
Soluções para a tarefa
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1
Vamos lá. Para resolver essa questão, vamos fatorar a equação original colocando o termo X em evidência. Assim, vamos diminuir a equação para uma equação de segundo grau:
16X - X³ = 0
X (16 - X²) = 0
Na equação do segundo grau gerada (16 - X² = 0), os coeficientes são:
a = -1 b = 0 c = 16
Para os cálculos do item C, usaremos o Δ:
Δ = b² - 4*a*c
Δ = 0 - 4 * (-1) * 16
Δ = 64
A) Temos agora uma multiplicação de dois fatores resultando em zero. Para que o resultado seja zero, um dois dois fatores obrigatoriamente tem que ser zero.
Para encontrar as raízes, igualaremos os dois fatores (X) e (16 - X²) a zero:
Primeiro fator: X = 0
S = {0}
Segundo fator: 16 - X² = 0
16 = X²
X = -4 ou X = 4
S {-4;4}
Assim, as raízes da equação são {-4; 0; 4}
B) Para descobrir os intervalos de crescimento e decrescimento da função, teremos que utilizar as raízes encontradas. Escolhemos 3 valores de X aleatórios dentro do intervalo para verificar o comportamento da função. Consideraremos o estudo da função f(X) = 16 - X² .
Primeiro intervalo: todo -4 < X < 0
* quando X = -3; f(X) = 7
* quando X = -2; f(X) = 12
* quando X = -1; f(X) = 15
Nesse intervalo, percebemos que quando maior o valor de X, maior também o valor de f(X). Dessa maneira, a função no intervalo -4 < X < 0 é crescente.
Segundo intervalo: 0 < X < 4
* quando X = 1; f(X) = 15
* quando X = 2; f(X) = 12
* quando X = 3; f(X) = 7
Nesse intervalo, percebemos que quando maior o valor de X, menor o valor de f(X). Dessa maneira, sabemos que no intervalo 0 < X < 4 a função é decrescente.
C) Para determinar os pontos de máximo ou mínimo de uma equação do segundo grau, basta calculas os dados do vértice (Xv) e (Yv), através de fórmulas matemáticas já existentes:
Xv = -b / 2*a
Xv = -0 / 2*-1
Xv = 0
Yv = - Δ / 4*a
Yv = -64 / 4 * (-1)
Yv = 16
Assim, o valor do ponto mínimo é P (0 ; 16).
D) Nossa função do segundo grau é 16 - X². O valor do coeficiente "a" é negativo. Portanto a concavidade da parábola é voltada para baixo.
E) O gráfico está esboçado no arquivo em anexo.
Espero ter ajudado ;)
16X - X³ = 0
X (16 - X²) = 0
Na equação do segundo grau gerada (16 - X² = 0), os coeficientes são:
a = -1 b = 0 c = 16
Para os cálculos do item C, usaremos o Δ:
Δ = b² - 4*a*c
Δ = 0 - 4 * (-1) * 16
Δ = 64
A) Temos agora uma multiplicação de dois fatores resultando em zero. Para que o resultado seja zero, um dois dois fatores obrigatoriamente tem que ser zero.
Para encontrar as raízes, igualaremos os dois fatores (X) e (16 - X²) a zero:
Primeiro fator: X = 0
S = {0}
Segundo fator: 16 - X² = 0
16 = X²
X = -4 ou X = 4
S {-4;4}
Assim, as raízes da equação são {-4; 0; 4}
B) Para descobrir os intervalos de crescimento e decrescimento da função, teremos que utilizar as raízes encontradas. Escolhemos 3 valores de X aleatórios dentro do intervalo para verificar o comportamento da função. Consideraremos o estudo da função f(X) = 16 - X² .
Primeiro intervalo: todo -4 < X < 0
* quando X = -3; f(X) = 7
* quando X = -2; f(X) = 12
* quando X = -1; f(X) = 15
Nesse intervalo, percebemos que quando maior o valor de X, maior também o valor de f(X). Dessa maneira, a função no intervalo -4 < X < 0 é crescente.
Segundo intervalo: 0 < X < 4
* quando X = 1; f(X) = 15
* quando X = 2; f(X) = 12
* quando X = 3; f(X) = 7
Nesse intervalo, percebemos que quando maior o valor de X, menor o valor de f(X). Dessa maneira, sabemos que no intervalo 0 < X < 4 a função é decrescente.
C) Para determinar os pontos de máximo ou mínimo de uma equação do segundo grau, basta calculas os dados do vértice (Xv) e (Yv), através de fórmulas matemáticas já existentes:
Xv = -b / 2*a
Xv = -0 / 2*-1
Xv = 0
Yv = - Δ / 4*a
Yv = -64 / 4 * (-1)
Yv = 16
Assim, o valor do ponto mínimo é P (0 ; 16).
D) Nossa função do segundo grau é 16 - X². O valor do coeficiente "a" é negativo. Portanto a concavidade da parábola é voltada para baixo.
E) O gráfico está esboçado no arquivo em anexo.
Espero ter ajudado ;)
Anexos:
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