Question

Considere a função f parêntese esquerdo x parêntese direito igual a ln aplicação de função invisível parêntese esquerdo x parêntese direito mais raiz quadrada de x mais 5 vírgula x maior que 0. Com respeito a integral indefinida da f abre parênteses x fecha parênteses, é correto afirmar que:

Answer 1

A integral da função f(x) é dada pela letra d) $x\cdot\left(\ln\left(x\right)+4\right)+\dfrac{2x^\frac{3}{2}}{3}$

Linearidade

O primeiro passo para se calcular uma integral é aplicar a linearidade sempre que possível.

Lembre que a integral $\int k\cdot g(x) + h(x) dx$ equivale a $k\cdot \int g(x)dx + \int h(x) dx$ (onde k é uma constante).

Portanto:

$\int \ln\left(x\right)dx + \int \sqrt{x}dx+\int 5dx$

Obtendo o resultado da primeira integral:

Integramos por partes para obter $\int \ln(x) dx$

Para isso definimos nossa f(x), g(x).

$f = ln(x) \,\,\,\,\,\, g' = 1$

$f' = \frac{1}{x} \,\,\,\,\,\, g' = x$

Lembrando que a integral por partes vem de $(fg)' = f'g+fg'$:

$\int f(x)g'(x) dx = \int [ (f(x)g(x))'  - f'(x)g(x)] dx$

$\int ln(x) = xln(x) - \int 1 dx$

$\int ln(x) = xln(x) - x$

Obtendo o resultado da segunda integral:

A raiz é apenas uma potência fracionária.

$\int \sqrt{x} dx= \int x^{1/2} dx$

Logo $\int x^{1/2} = \dfrac{2}{3}x^{3/2}</p><p></p><h2>Obtendo o resultado da terceira integral:</h2><p>A integral de uma constante dá uma função linear:</p><p>[tex]\int 5 dx = 5x$

Somando as 3 funções, obtemos a resposta:

$x\cdot\left(\ln\left(x\right)+4\right)+\dfrac{2x^\frac{3}{2}}{3}$

Para mais exercicios de cálculo integral veja:

https://brainly.com.br/tarefa/51033932