Question

Considere a função f parêntese esquerdo x parêntese direito igual a numerador x ao quadrado menos 2 x mais 1 sobre denominador x menos 1 fim da fração sin abre parênteses numerador 1 sobre denominador x menos 1 fim da fração fecha parênteses. Calcule o limite de () para tendendo a 1 e assinale a alternativa correta:

Answer 1

Com base no teorema do confronto nossa solução é o valor 0 para o limite

Teorema do confronto

Se $lim_{x- > a} g(x)=lim_{x- > a}h(x)=b$ e se f é tal que g(x) < f(x) < h(x) para todo x ∈ I - {a}, em que I é intervalo aberto que contém a, então $lim_{x- > a}f(x)=b$.

Função seno

Chama-se função seno a função f: IR->IR toda função do tipo f(x) = sen x onde D = IR e Im = {y ∈ IR/-1 ≤ y ≤ 1}.

Com isso podemos resolver o exercício. Vamos começar fatorando a expressão (x²-2x+1)/(x-1) = (x-1)²/(x-1) = x-1. Daí, f(x) = (x - 1).sen(1/(x-1)). Sendo t = x - 1 quando x tende a 1, o t tende a 0. Então:  $lim_{t- > 0} t.sen(\frac{1}{t})$.

Agora vamos usar o seguinte : -1 ≤ senФ ≤ 1 ⇔ -1 ≤ sen(1/t) ≤ 1 e vamos dividir em dois casos.

• 1° Se t > 0: -1t ≤ t.sen(1/t) ≤ 1t ⇔ lim(-t) ≤ lim t.sen(1/t) ≤ lim t ⇔ 0 ≤ lim t.sen(1/t) ≤ 0

• 2° Se t < 0: 1t ≤ t.sen(1/t) ≤ -1t ⇔ lim t ≤ lim t.sen(1/t) ≤ lim (-t) ⇔ 0 ≤ lim t.sen(1/t) ≤ 0

Chegamos a conclusão que quando x tende a 1 o valor do limite é 0.

Saiba mais sobre o teorema do confronto: https://brainly.com.br/tarefa/93452

#SPJ2