Question

Considere a função f definida por f(x) x+1 / √x² - 4

(a) Podemos afirmar que a reta x = 2 é uma assíntota vertical ao gráfico de f? Justifique.

(b) Determine, caso existam, as assíntotas horizontai ao gráfico de f, explicitando suas equações.

Obs.: Matéria de Cálculo I . E a √ vai de x² até o 4

Answer 1

A função em questão é: $f\left(x\right)=\frac{x+1}{\sqrt{x^2-4}}$

a) Iremos determinar a assintota vertical (caso exista). Para que exista assintota vertical o denominador da função deve tender a 0 (zero).

$\sqrt{x^2-4}=0\\x^2-4=0\\x^2=4\\x=\pm \sqrt{4}\\\boxed{\bold{x=\pm 2}}$

====================

→Comprovando:

⇒ Quando x aproxima-se de 2 pela direita o y tenda ao +∞.

$\lim _{x\to 2^+}\left(\frac{x+1}{\sqrt{x^2-4}}\right)\\=\frac{2+1}{\sqrt{4^+-4}}\\=\frac{3}{0^+}\\=\infty ^+$

⇒ Quando x aproxima-se de 2 pela esquerda o y não esta definido.

$\lim \:_{x\to \:2^-}\left(\frac{x+1}{\sqrt{x^2-4}}\right)\\=\frac{2+1}{\sqrt{4^--4}}\\=\frac{3}{\sqrt{0^-}}$

⇒ Quando x aproxima-se de -2 pela esquerda o y tenda ao -∞.

$\lim \:\:_{x\to \:\:-2^+}\left(\frac{x+1}{\sqrt{x^2-4}}\right)\\=\frac{-2+1}{\sqrt{4^+-4}}\\=\frac{-1}{\sqrt{0^+}}\\=-\infty$

⇒ Quando x aproxima-se de -2 pela esquerda o y não esta definido.

$\lim \:\:_{x\to \:\:-2^-}\left(\frac{x+1}{\sqrt{x^2-4}}\right)\\=\frac{-2+1}{\sqrt{4^--4}}\\=\frac{-1}{\sqrt{0^-}}$

====================

b) Iremos determinar a assintota horizontal (caso exista). A Assintota horizontal e determinada pelo limites laterias quando "x" tenda ao ∞.

⇒ Quando x tende ao +∞ o y tende a 1.

$\lim _{x\to+ \infty}\left(\frac{x+1}{\sqrt{x^2-4}}\right)\\\lim _{x\to +\infty }\left(\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}+\frac{1}{\sqrt{x^2-4}}\right)\\\lim _{x\to +\infty }\left(\frac{\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}}{\frac{\sqrt{x^2-4}}{\sqrt{x^2-4}}}+\frac{\frac{1}{\sqrt{x^2-4}}}{\frac{\sqrt{x^2-4}}{\sqrt{x^2-4}}}\right)\\\lim _{x\to +\infty }\left(\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}+\frac{1}{\sqrt{x^2-4}}\right)\\\lim _{x\to \infty }\left(\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}\right)+\lim \:_{x\to \:\infty \:}\left(\frac{1}{\sqrt{x^2-4}}\right)$
$\lim _{x\to \infty }\left(\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}\right)+0\\\lim _{x\to \infty }\left(\frac{\frac{x}{x}}{\frac{\sqrt{x^2-4}}{\sqrt{x^2}}}\right)\\\lim _{x\to \infty }\left(\frac{1}{\sqrt{\frac{x^2}{x^2}-\frac{4}{x^2}}}\right)\\\lim _{x\to \infty }\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}}\right)\\=\left\frac{1}{\sqrt{1-0}}\right\\=\frac{1}{\sqrt{1}}\\=1$

⇒ Quando x tende ao -∞ o y tende a -1.

Lembrete:
$x\to -\infty$ ∴ $\sqrt{x^2}=-x$

$\lim _{x\to-\infty }\left(\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}\right)+\lim \:_{x\to-\:\infty \:}\left(\frac{1}{\sqrt{x^2-4}}\right)\\\lim _{x\to-\infty }\left(\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}\right)+0\\lim _{x\to-\infty }\left(\frac{\frac{x}{-x}}{\frac{\sqrt{x^2-4}}{\sqrt{x^2}}}\right)\\\lim _{x\to-\infty }\left(\frac{-1}{\sqrt{\frac{x^2}{x^2}-\frac{4}{x^2}}}\right)\\\lim _{x\to-\infty }\left(\frac{-1}{\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}}\right)\\=\left\frac{-1}{\sqrt{1-0}}\right\\=\frac{-1}{\sqrt{1}}\\=-1$

====================

Resposta:

→Assintota vertical: ±2
→Assintota horizontal: ±1