Question

considere a função f de R em R definida pela expressão f(x)=x^4-13x^2+36. Determine o valor de x tal que f(x)=0

Answer 1

$f\left(x \right )=x^{4}-13x^{2}+36$

$\bullet\;\;f\left(x \right )=0\\ \\ x^{4}-13x^{2}+36=0\\ \\ \left(x^{2} \right )^{2}-13x^{2}+36=0$


Fazendo a seguinte mudança de variável, temos

$y=x^{2},\;\text{ onde } y\geq 0$

pois $y$ é o quadrado de um número real, e por isso não pode ser negativo.


Substituindo na equação original, temos

$y^{2}-13y+36=0\\ \\ y^{2}-4y-9y+36=0\\ \\ y\left(y-4 \right )-9\left(y-4 \right )=0\\ \\ \left(y-4 \right )\left(y-9 \right )=0\\ \\ \begin{array}{rcl} y-4=0&\text{ou}&y-9=0\\ \\ y=4&\text{ou}&y=9 \end{array}$


Voltando à variável original $x$, temos

$\begin{array}{rcl} x^{2}=4&\text{ou}&x^{2}=9\\ \\ x=\pm \sqrt{4}&\text{ou}&x=\pm\sqrt{9}\\ \\ x=\pm 2&\text{ou}&x=\pm 3\\ \\ \end{array}$


Logo, os valores de $x$, tal que $f\left(x \right )=0$ são

$x=-3,\;x=-2,\;x=2\;\text{ e }\;x=3$