Question

Considere a função f abre parênteses x fecha parênteses espaço igual a espaço log abre parênteses x fecha parênteses e seja o valor da área delimitada pelo gráfico da função f abre parênteses x fecha parênteses e pelas retas = 1/ , = e = 0.

Answer 1

Resposta:

$A = \frac{2e - 2}{e}$

Explicação passo a passo:

$\int\limits^1_\frac{1}{e} {-log(x)} \, dx + \int\limits^1_e {log(x)} \, dx = \frac{e - 2}{e} + 1= \frac{2e - 2}{e}$

Answer 2

A área delimitada pelo gráfico é (2e - 2)/e, alternativa B.

Integral

Para o cálculo de integrais, devemos utilizar várias regras e métodos para resolver tais problemas. O cálculo de integrais é geralmente utilizado para calcular áreas abaixo de curvas determinadas por certas funções.

Na figura abaixo, podemos ver que essas retas formam duas regiões sendo uma delas abaixo do eixo x (área negativa) e outra acima (área positiva), logo, por integrais temos que a área será:

$A=\int\limits^e_1 {ln x} \, dx-\int\limits^1_{\frac{1}{e}} {ln x} \, dx$

Pela integração por partes, temos que ∫ln x dx = x·ln x - x + c. Calculando a área, temos:

A = [(e·ln e - e) - (1·ln 1 - 1)] - [(1·ln 1 - 1) - ((1/e)·ln 1/e - 1/e)]

A = [e - e - 0 + 1] - [0 - 1 - (1/e)·(-1) + 1/e]

A = 1 - [-1 + 2/e]

A = 2 - 2/e

A = (2e - 2)/e

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