Question

Considere a função f: (-∞,1] → [-1,∞) definida por f(x) = 2|x-1| - 1. Pede-se:
(a) Esboço do gráfico de f.
(b) Domínio da inversa f^-1 de f.
(c) Uma expressão para a inversa f^-1 de f.
(d) Verifique que f^-1(f(x)) = x, para todo x ∈ (-∞,1].

Answer 1

a) f(x) = 2|x-1| - 1
$\rightarrow$ |x-1| = x-1, se x-1 ≥ 0 ⇔ x ≥ -1
$\rightarrow$ |x-1| = 1-x, se x-1 ≤ 0 ⇔ x ≤ -1

Como x ∈ ]-∞,1]
f(x) = 2(1-x) - 1

$\boxed{f(x) = -2x + 1}$ (gráfico na imagem abaixo)

b) O domínio de uma função inversa equivale ao contradomínio da função original, portanto $\boxed{D = [-1,+\infty[}$

c) Para se obter a função inversa, basta substituir na função original x por $f^{-1}(x)$ e f(x) por x.
f(x) = 2|x-1| - 1 (original)
$x=2|f^{-1}(x)-1|-1$
$\rightarrow |f^{-1}(x)-1| = f^{-1}(x)-1 \Leftrightarrow f^{-1}(x)-1 \geq 0\Leftrightarrow f{-1}(x) \geq 1$
$\rightarrow |f^{-1}(x)-1| = 1-f^{-1}(x) \Leftrightarrow f^{-1}(x)-1 \leq 0\Leftrightarrow f{-1}(x) \leq 1$

$Como f^{-1}(x) \epsilon ]-\infty,1]$ (contradomínio da inversa)
$x=2(1-f^{-1}(x)) - 1$

$\boxed{f^{-1}(x)= \frac{1-x}{2}}$

d) $f^{-1}(f(x)) = \frac{1-f(x)}{2}$

Como x ∈ ]-∞,1]
f(x) = -2x + 1

$f^{-1}(f(x)) = \frac{1-(-2x+1)}{2}$

$\boxed{f^{-1}(f(x)) = x}$