Question

Considere a função f:(0,∞)→R dada por f(x)=361/(19+x). A soma f(x)+f(361/x) é igual a uma constante, que não depende de x∈(0,∞).

Qual é essa constante?

Answer 1

A constante dada pela soma das funções é 19.

Para entendermos esse resultado, devemos realizar o passo a passo desse cálculo.

Como realizar soma de funções?

Pelo enunciado, temos que nossa função $f(x)$ é dada por:

$f(x) = \frac{361}{19+x}$

e desejamos realizar a soma das funções $f(x) + f(\frac{361}{x})$. Para isso, primeiro devemos simplificar a forma de $f(\frac{361}{x})$. Realizamos esse processo para deixar nosso cálculo mais simples.

Substituindo nossa variável por $\frac{361}{x}$, temos:

$f(\frac{361}{x} ) = \frac{361}{19+(\frac{361}{x} )}$

A partir disso, aplicamos as técnicas de Mínimo Múltiplo Comum em Polinômios, de modo que nossa fração se torna:

$f(\frac{361}{x} ) = \frac{361}{19+(\frac{361}{x} )} = \frac{361}{\frac{19x+361}{x}}$

Após isso, devemos realizar a divisão de frações de modo a obter a forma desenvolvida de $f(\frac{361}{x})$:

$f(\frac{361}{x}) = \frac{361}{1} * \frac{x}{19x+361} = \frac{361x}{19x+361}$

Nota-se que a fração $\frac{361x}{19x+361}$ tem o 19 como fator comum em ambos os termos. Com isso, podemos dividir ambos os termos por esse valor e simplificar nossa fração, fazendo:

$\frac{361x}{19x+361} = \frac{19*(19x)}{19*(1x+19)} = \frac{19x}{x+19}$

Com isso, já podemos realizar a soma de frações, que é dada por:

$f(x) + f(\frac{361}{x}) = \frac{361}{19+x} + \frac{19x}{x+19}$

Temos a equivalência $x + 19 = 19 + x$ pela propriedade comutativa da soma. Logo:

$\frac{361}{19+x} + \frac{19x}{x+19} = \frac{361}{19+x} + \frac{19x}{19 + x}$

Realizando a adição de frações com denominadores iguais, podemos encontrar nossa constante, de modo que:

$\frac{361}{19+x} + \frac{19x}{19 + x} = \frac{361 + 19x}{19 + x}$

Por fim, podemos notar novamente que podemos colocar o termo 19 em evidência e simplificar nossa equação, resultando:

$f(x) + f(\frac{361}{x}) = \frac{19 *(19 + x)}{19 + x} = 19$

Para entender mais sobre funções, veja: https://brainly.com.br/tarefa/39247432

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