Question

Considere a função escalar F(x,y,z)3x2 + 2xy + 4y2z Qual a taxa de variação de P(1,2,-2)na direção 3t+4j-2k?

Answer 1

⇒    Aplicando nossos conhecimentos sobre Cálculo Vetorial, concluímos que a taxa de variação é  $-\frac{122}{\sqrt{29}}$ .

☛     A derivada direcional da função  $f(x,y,z)$  no ponto  $P(a,b,c)$  e na direção do vetor unitário   $\hat{u}$  é denotada por  $D_uf(P)$  e definida como  $D_uf(P)=\nabla f(P)\cdot \hat{u}$ .

➜     Aqui temos  $f( x,y,z) =3x^{2} +2xy+4y^{2} z$ . O gradiente da função é:

$\nabla f=( D_{1} f,D_{2} f,D_{3} f) =\left( 6x+2y,2x+8yz,4y^{2}\right)$

➜     No ponto (1, 2, - 2),

$\nabla f( 1,2,-2) =\left( 6\cdotp 1+2\cdotp 2,2\cdotp 1+8\cdotp 2\cdotp ( -2) ,4\cdotp 2^{2}\right) =\boxed{( 10,-30,16)}$

➜     O vetor  $\vec{u}=(3,4,-2)$ não é unitário, pois  $|\vec{u}|=\sqrt{3^2+4^2+(-2)^2}=\qsrt{29}$

➜     Um vetor unitário que tem a mesma direção e sentido do vetor  $\vec{u}$  é:

$\displaystyle \hat{u} =\dfrac{\vec{u}}{|\vec{u} |} =\dfrac{( 3,4,-2)}{\sqrt{3^{2} +4^{2} +( -2)^{2}}} =\boxed{\left(\frac{3}{\sqrt{29}} ,\frac{4}{\sqrt{29}} ,-\frac{2}{\sqrt{29}}\right)}$

♦︎     Portanto,

$\displaystyle D_{\vec{u}} f=\nabla f\cdotp \hat{u} =( 10,-30,16) \cdotp \left(\frac{3}{\sqrt{29}} ,\frac{4}{\sqrt{29}} ,-\frac{2}{\sqrt{29}}\right) =\boxed{\boxed{-\frac{122}{\sqrt{29}}}}$

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