Question

Considere a função de R em R dada por f(x) = 5^x + 3. Seu conjunto Imagem é:


Resposta: ]3, +oo[

+oo > "Mais infinito"

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Mário, que a resolução é simples.
Pede-se o conjunto-imagem da seguinte função:

f(x) = 5ˣ + 3 

Agora vamos analisar a função acima. Note que o domínio da função acima são todos os Reais, pois não há qualquer restrição a que "x" assuma qualquer valor real.
Já com relação ao conjunto-imagem vamos ter que analisar a função dada acima. Note que se "x" assumir qualquer valor maior do que zero, então a função f(x) crescerá, por exemplo: para x = 1, teremos: f(1) = 5¹+3 ---> f(1) = 5+3 = 8. Para x = 2, teremos: f(2) = 5²+3 ---> 25+3 = 28; e assim vai, crescendo exponencialmente até o mais infinito.
Porém, quando "x" for menor ou igual a zero, iremos notar que há um limite para f(x). Assim teremos:

i) Quando "x" for igual a "0", teremos:
f(0) = 5⁰ + 3
f(0) = 1 + 3
f(0) = 4.

ii) Para x = -1, teremos:
f(-1) = 5⁻¹ + 3
f(-1) = 1/5¹ + 3
f(-1) = 1/5 + 3 ------ mmc = 5. Assim:
f(-1) = (1*1 + 5*3)/5
f(-1) = (1 + 15)/5
f(-1) = (16)/5 = 16/5 = 3,20

ii) Para x = -2, teremos:
f(-2) = 5⁻² + 3
f(-2) = 1/5² + 3
f(-2) = 1/25 + 3 ----- mmc = 25. Assim:
f(-2) = (1*1+25*3)/25 = (1+75)/25 = (76)/25 = 76/25 = 3,04

iii) Para x = - 3, teremos:
f(-3) = 5⁻³ + 3
f(-3) = 1/5³ + 3
f(-3) = 1/125 + 3 ----- mmc = 125. Assim:
f(-3) = (1*1+125*3)/125 = (1+375)/125 = 376/125 = 3,008

iv) Note que ficamos com uma sequência do tipo, quando "x" vai de "0" a menos infinito: "4"; "3,20"; "3,04"; "3,008".
Então vamos encontrar qual é o limite da função dada, quando "x" tende a "-∞". Assim, teremos:

lim (5ˣ + 3)
x-->-∞

Note: se substituirmos o "x" por "-∞", iremos ficar assim:

5^(-∞) + 3 = 1/5^(∞) + 3 ---- veja: 1 sobre alguma coisa elevado a infinito vai dar um número tão minúsculo que é considerado igual a "0".. Logo, teremos que:

1/5^(∞) + 3 = 0 + 3 = 3 <--- Este será o limite de f(x) quando "x" tender para menos infinito. Como você vê, então o menor valor que a expressão dada assumirá será bem próximo de "3", que é quando "x" tende a menos infinito.
Logo, o conjunto-imagem (CI) será este:

CI = {f(x) ∈ R | f(x) > 3}.

Se quiser, também poderá apresentar o conjunto-imagem da seguinte forma, o que quer dizer a mesma coisa:

CI = ]3; +∞[ ou, o que é a mesma coisa: CI = (3; +∞).

É isso aí.
Deu pra entender bem:

OK?
Adjemir.