Matemática, perguntado por arlancavalcanti, 9 meses atrás

Considere a função dada por f(x) = \frac{3}{x-1} Marque a única opção correta seguinte: a) A função f(x) é contínua para todo domínio de R b) f(x) no ponto 1 existe e é igual a zero. c) Todo limite +f(x), quanto o limite - f(x) CORRESTONDE A ZERO. D) f(x) no ponto 1 existe e é igual a 3. e) O limite \lim_{x \to \ 0} f(x) não existe.

Soluções para a tarefa

Respondido por Nefertitii
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Temos a seguinte função: f(x) = \frac{3}{x-1}

❑ A partir dessa função a questão nos indaga algumas questões.

a) A função f(x) é contínua para todo domínio em R.

❑ Essa informação está errada, para comprovar essa afirmação, devemos lembrar que quando temos uma fração precisamos fazer alguma restrição para encontrar o domínio de uma função, tal restrição é dizer que o denominador deve ser diferente de "0", pois divisão por "0" não é definida, logo não é contínua em tal ponto.

 \frac{3}{x - 1}  \longrightarrow x - 1 \neq 0 \Longleftrightarrow x \neq 1 \\  \\ D = \{x \in \mathbb{R}/x\neq 1\}

b) f(x) no ponto 1 existe e é igual a zero.

❑ Para verificar essa afirmação devemos substituir no local de "x" o valor informado pela questão, que é "1":

f(x) =  \frac{3}{x - 1}   \Longleftrightarrow f(1) =  \frac{3}{1 - 1}  \Longleftrightarrow f(1) =  \frac{0}{0}  \\  \\  \text{indefinido}

c) Tanto o limite \lim_{x\rightarrow- \infty} f(x)\\ quanto o limite\lim_{x\rightarrow+ \infty} f(x) \\ corresponde a zero.

❑ Vamos verificar essa tal afirmação:

\lim_{x \rightarrow- \infty} f(x) = 0\\ \lim_{x \rightarrow+ \infty} f(x) = 0 \\  \\  \Longrightarrow\lim_{x \rightarrow- \infty}  \frac{3}{x - 1}  \Longleftrightarrow  \lim_{x \rightarrow- \infty}  \frac{ \frac{3}{x} }{ \frac{x}{x}  -  \frac{1}{x} }   \Longleftrightarrow  \\  \Longrightarrow \lim_{x \rightarrow- \infty}  \frac{  \cancel{\frac{3}{ -  \infty } }}{1 -  \cancel{ \frac{1}{ -  \infty } }}  \Longleftrightarrow \lim_{x \rightarrow- \infty}  \frac{0}{1}  = 0 \:  \:  \:  \:  \:  \:  \\  \\ \Longrightarrow\lim_{x \rightarrow +  \infty}  \frac{3}{x - 1}  \Longleftrightarrow  \lim_{x \rightarrow + \infty}  \frac{ \frac{3}{x} }{ \frac{x}{x}  -  \frac{1}{x} }   \Longleftrightarrow  \\  \Longrightarrow \lim_{x \rightarrow +  \infty}  \frac{  \cancel{\frac{3}{  +  \infty } }}{1 -  \cancel{ \frac{1}{  +  \infty } }}  \Longleftrightarrow \lim_{x \rightarrow +  \infty}  \frac{0}{1}  = 0  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:

d) f(x) no ponto 1 existe e é igual a 3.

❑ Essa afirmação contradiz a alternativa b) que também não está certa, logo o item d) está incorreto.

e) O limite \lim_{x \to0 \ } f(x)\\ não existe.

❑ Vamos calcular para ver se essa afirmação é verdadeira ou não:

\lim_{x \rightarrow0}  \frac{3}{x - 1}   \Longleftrightarrow \lim_{x \rightarrow0}  \frac{3}{ 0- 1}  =  - 3 \\

Essa afirmação está errada.

Espero ter ajudado

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