Question

Considere a função dada por f(x)=-2x²+4x+6 e responda:

a) em quais pontos a parábola correspondente corta o eixo das abcissas?

b) a função tem ponto de mínimo ou máximo?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Dadi, que a resolução é simples.

Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Considerando a função f(x) = - 2x² + 4x + 6, responda:

a) em quais pontos a parábola correspondente corta o eixo das abcissas?

b) a função tem ponto de mínimo ou de máximo?

ii) Antes de iniciar veja alguns prolegômenos sobre equações do 2º grau.

- eixo dos "x" (ou eixo das abscissas) é cortado pelo gráfico de uma equação do 2º grau (parábola) exatamente em suas raízes. Se a equação do 2º grau tem raízes iguais a x' e x'' , então o seu gráfico cortará o eixo das abscissas exatamente em x' e em x''.

- o gráfico de uma equação do 2º grau poderá ter um ponto de mínimo ou um ponto de máximo. O ponto será de mínimo se a equação tiver o seu termo "a" positivo, (o termo "a" em equações do 2º grau é coeficiente de x²); e o ponto será de máximo se a equação tiver o seu termo "a" negativo. Em outras palavras: se o termo "a" for positivo a parábola terá a sua concavidade voltada pra cima (o que caracteriza ponto de mínimo); se o termo "a" for negativo a parábola terá a sua concavidade voltada pra baixo (o que caracteriza ponto de máximo).

- o vértice de uma parábola é dado pelo "x" e pelo "y" do vértice e será o ponto com as seguintes coordenadas: (xv; yv). E cada um desses pontos tem a sua fórmula para encontrá-los, que são:

xv = - b/2a

e

yv = - (Δ)/4a ------sendo Δ = b²-4ac.

iii) Tendo, portanto esses breves prolegômenos como parâmetro, vamos resolver a sua questão.

iii.a) Vamos resolver a equação f(x) = - 2x² + 4x + 6 . Para isso, vamos igualar a equação a zero, ficando:

-2x² + 4x + 6 = 0 ----- para facilitar vamos simplificar ambos os membros por "2", com o que iremos ficar assim:

-x² + 2x + 3 = 0 ------ se você aplicar Bháskara vai ver que as raízes serão estas:

x' = -1

x'' = 3

Assim, o gráfico (parábola) da função do 2º grau da sua questão cortará o eixo das abscissas exatamente em:

x = -1 e em x = 3 <--- Esta é a resposta para o item "a".

iii.b) A função terá ponto de máximo, pois você já viu lá nos "prolegômenos", que o termo "a" sendo negativo então a concavidade da parábola será voltada pra baixo, caracterizando ponto de máximo. Logo, teremos um ponto de:

máximo <--- Esta é a resposta para o item "b".

Bem, a resposta já está dada, mas se você quiser saber quais são as coordenadas do vértice da parábola, então basta encontrar o "x" do vértice (xv) e o "y" do vértice (yv) pelas seguintes fórmulas (veja que a equação da sua questão é esta: f(x) = -2x² + 4x + 6):

xv = -b/2a ---- substituindo-se "b" por "4" e "a" por "-2", teremos:

xv = -4/2*(-2)

xv = -4/-4

xv = 1 <---- Este é o "x" do vértice.

e

yv = -(b²-4ac)/4a ---- substituindo-se "b" por "4", "a" por "-2" e "c" por "6", teremos:

yv = -(4² - 4*(-2)*6))/4*(-2)

yv = -(16+48)/-8

yv = -(64)/-8 --- ou apenas:

yv = -64/-8

yv = 8 <---- Este é o "y" do vértice

Assim, as coordenadas do vértice (xv; yv) serão dadas pelo ponto: (1; 8)

Finalmente, apenas pra você ter uma ideia visual veja o gráfico da equação da sua questão no endereço abaixo (pois aqui no Brainly eu não sei construir gráficos) e constate tudo o que dissemos o essa função.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)+%3D+-2x%C2%B2%2B4x%2B6

É isso aí.

Deu pra entender bem?

Ok?

Adjemir.