Question

Considere a função bijetora f:[1,∞)→(-∞,3], definida por f(x)=-x²+2x+2, e seja (a,b) o ponto de interserção de f com sua inversa. O valor númerico da expressão a+b é:

Answer 1

$\displaystyle \sf y = -x^2+2x+ 2 \\\\ \underline{\text{Achando a inversa}}: \\\\ x = - y^2+2 y+2 \\\\ -y^2+2y+2-x\\\\ y = \frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot(-1)\cdot2}}{2\cdot(-1)} \\\\\\ y = \frac{-2\pm\sqrt{4+4\cdot (2-x)}}{-2} \to y = \frac{-2\pm\sqrt{4[1+2-x]}}{-2} \\\\\\ y = \frac{-2\pm2\sqrt{3-x}}{-2} \to y = 1\pm\sqrt{3-x}$

a função inversa não assume valores negativos, já que $\sf x \leq 3$ , então :

$\boxed{\sf f^{-1}(x) = 1+\sqrt{3-x}}$

Sejam a e b os pontos de interseção de f com sua inversa, pede-se a + b.

Igualando a f com sua inversa para achar os pontos de interseção :

$\sf -x^2+2x+2=1+\sqrt{3} \\\\ \underline{\text{Por inspe{\c c}{\~a}o vemos que x = 2 {\'e} uma solu{\c c}{\~a}o}} : \\\\ -2^2+2.2+2=1+\sqrt{3-2} \\\\ -4+4+2=1+1 \\\\ 2=2 \ \checkmark \\\\ \underline{\text{Da{\'i}}} \\\\ \boxed{\sf \text a = 2 \ ; \text b =2 }$

Portanto :

$\huge\boxed{\sf a+b = 4 }\checkmark$