Question

Considere a função bijetora f:[1,∞)→(-∞,3], definida por
f(x) = - 3x2 + 2x + 2,
e seja (a,b) o ponto de interseção de f com sua inversa f(-1)
.
O valor numérico da expressão a+b é:
A) 6
B) 8
C) 2
D) 0
E) 4

Answer 1

Resposta:

A alternativa A está correta.

Explicação passo-a-passo:

Para determinar o gráfico da função inversa de uma função bijetiva, basta fazer a reflexão sobre a reta y=x. Dessa forma, a fim de encontrar tal ponto, devemos apenas resolver o sistema:

 

Fique atento ao fato de que a solução deve estar contida no domínio da função , sugerido na questão. Assim, devemos resolver a equação:

Como  

 

não pertence ao domínio da função , a única solução é =1 e, portanto, =1, como podemos ver graficamente:

Consequentemente +=2.

Answer 2

O valor numérico da expressão a+b, com (a,b) como ponto de interseção de f e sua inversa é a+ b = 2 (Alternativa C).

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Uma maneira prática de encontrar a inversa de uma função, quando ela existe, é trocar o x por y na função que se quer encontrar a inversa e isolar o y. É importante dizer que o domínio conveniente da função é primordial para que a inversa exista.

Veja:

f(x) = - 3x² + 2x + 2,

Trocando x por y e y por x:

x = - 3y² + 2y + 2,

Isolando y:

x - 2 = - 3y² + 2y        

x - 2 = -3(y² + 2/3y)   (Completando quadrados)

x - 2 = -3(y - 1/3)² + 1/3  

x - 2 - 1/3 = -3(y - 1/3)²

x - 7/3 = -3(y - 1/3)²

-x/3 + 7/9 = (y - 1/3)²  

√(-x/3 + 7/9) = y - 1/3  

y = √(-x/3 + 7/9) + 1/3  

Para encontrar o ponto de interseção, basta igualar as funções:

- 3x² + 2x + 2 = √(-x/3 + 7/9) + 1/3

Resolvendo:

- 3x² + 2x + 5/3 = √(-x/3 + 7/9)

(- 3x² + 2x + 5/3)² = -x/3 + 7/9

(- 3x² + 2x + 5/3)(- 3x² + 2x + 5/3) = -x/3 + 7/9

9x⁴ - 6x³ - 5x² - 6x³ + 4x² + 10x/3 - 5x² + 10x/3 + 25/9 = -x/3 + 7/9

9x⁴ - 12x³ - 6x² + 7x + 2 = 0

Aplicando Briot Ruffini, vê-se que 1 é raiz do polinômio.

Calculando f(1),

f(1) = - 3(1)² + 2(1) + 2 =  -3 + 2 + 2 = 1,

Logo, a = 1 e b = 1 e a soma a+ b = 2 (Alternativa C).

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