Question

Considere a função afim f(x) cujo gráfico passa pelo ponto (8, 3) e intersecta os eixos coordenados nos pontos (a,0), e (0, −b − 1) , onde a e b são números reais positivos. Determine a expressão de f(x) sabendo que axb = 8.

Answer 1

A função afim é definida da seguinte forma f(x) = cx + d.

Na questão foi dado três pontos. Vamos substituir os três na função:

Substituindo (8,3): 8x + d = 3
Substituindo (a,0): ac + d = 0
Substituindo (0,-b-1): d = -b-1

Também foi informado que a.b = 8. Portanto, $a = \frac{8}{b}$.

Sendo d = -b-1 e $a = \frac{8}{b}$, temos que:

$\frac{8c}{b}-b-1=0$ (*) e 8c - b -1 = 3 (**)

De (**) temos que b = 8c - 4. Substituindo esse valor em (*):

$\frac{8c}{8c-4}-8c+4-1=0$
$\frac{8c}{8c-4}-8c+3=0$
$-64c^2+64c-12=0$

Utilizando Bháskara:

Δ = $64^2-4(-64)(-12)$
Δ = 4096 - 3072
Δ = 1024
$c = \frac{-64+- \sqrt{1024} }{2(-64)}$
$c = \frac{-64+-32}{-128}$

$c' = \frac{-64+32}{-128} = \frac{1}{4}$
$c" = \frac{-64-32}{-128} = \frac{3}{4}$

Se $c = \frac{1}{4}$, então b = 2 - 4 = -2, o que não pode acontecer pois a e b são positivos.

Se $c = \frac{3}{4}$, então b = 2.

Portanto, a = 4 e d = -2 -1 = -3

Logo, $f(x) = \frac{3x}{4}-3$