Question

Considere a figura abaixo em que:
- a circunferência de raio R e centro 0 e a circunferência de raio r e centro E são tangentes interiores;
a circunferência de raio r é tangente aos segmentos OA e OB.
Sabe-se que r= 5 cm e {AOB = 60° e que a área da região sombreada nessa figura é
a/bπ cm². Se a e b são primos entre si, então a - b é igual a
a) 23
b)22
c)21
d)20
gab:A
por favor fazer com cálculos, obrigado.​

Answer 1

Oi Abraão, tudo jóia meu nobre?

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Considerações:

=> As duas circunferências são tangentes interiores.

=> R é um ponto onde a circunferência menor tangencia a reta AO.

Então, teremos o triângulo retângulo ERO (na imagem acima)

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Resolução:

Com r = 5 cm, o valor de R:

sen30° = r/(R - r)

1/2 = r/(R - r)

(R - r)/2 = r

R - r = 2r

R = 3r

R = 3.5

R = 15 cm

Portanto, a área da região sombreada é:

A = A_secao - A_circ_menor

A = πR²*60°/360° - πr²

A = πR²/6 - πr²

A = π(15)²/6 - π(5)²

A = 225π/6 - 25π

A = 75π/2 - 25π

A = 75π/2 - 50π/2

A = 25π/2 cm²

Como os números 25 e 2 são primos entre si, a área A está no formato aπ/b cm², com a = 25 e b = 2. Então, a - b:

a - b = 25 - 2

a - b = 23

R: a) 23