Question

Considere a figura a seguir .

Qual o valor para que a área sombreada seja 119$m^{2}$ ?

A) 1,25m
B) 3 m
C) 5 m
D) 5,5 m

Answer 1

Olá!

Para calcular a área sombreada pegamos a área do quadrado e subtraimos pelas 4 áreas dos triângulos.

Primeiro vamos encontrar as áreas dos triângulos e depois a árra do quadrado.

Observando o desenho sabemos que o triângulo é retângulo e o valor da base e da altura é x.

Área do triângulo é calculada por:

b × h / 2

Como b= x e h = x, então será x^2 / 2 a área do triângulo.

Como são 4 triângulos retângulos de mesma área, multiplicamos esse valor por 4.

(x^2 / 2) . 4

4x^2 / 2

2x^2

A área dos quatro triângulos é 2x^2.

Agora encontraremos a área do quadrado.

A área do quadrado é calculada pela fórmula A = l^2

Onde l é o lado do quadrado.

Sabemos que o lado é a soma de x + x + 3, ou seja 2x + 3, basta elevar essa expressão ao quadrado para encontrar a área.

(2x + 3)^2

(2x)^2 + 2 . 2x . 3 + 3^2

4x^2 + 12x + 9

Agora que sabemos a área do quadrado e a área dos quatros triângulos, podemos montar uma equação do 2° grau.

As = Aq - Att

(As e a área sombreada, Aq é a área do quadrado e Att é a área dos 4 triângulos)

119m^2 = (4x^2 + 12x + 9) - 2x^2

119 = 4x^2 - 2x^2 + 12x + 9

119 = 2x^2 + 12x + 9

2x^2 + 12x + 9 - 119 = 0

2x^2 + 12x - 110 = 0

(Dividindo ambos os membros por 2)

2x^2 / 2 + 12x / 2 - 110 / 2 = 0 / 2

x^2 + 6x - 55 = 0

Agora que formamos uma equação do 2° grau, podemos resolve-la normalmente.

a = 1, b = 6 e c = -55

Δ = b^2 - 4ac

Δ = 6^2 - 4 . 1 . (-55)

Δ = 36 + 220

Δ = 256

Agora vamos para Bhaskara:

x = -b +- VΔ / 2a

x = -6 +- V256 / 2 . 1

x = -6 +- 16 / 2

x' = -6 + 16 / 2

x' = 10 / 2 = 5

x" = -6 - 16 / 2

x" = -22 / 2

x" = -11 (não satisfaz, pois a área não pode ser negativa)

Portanto, o valor que nos resta é 5.

Resposta: 5m, alternativa C

Resolução matemática(sem explicação):

At = b . h / 2

At = x . x / 2

At = x^2 / 2

Att = 4At

Att = 4 . x^2 / 2

Att = 4x^2 / 2

Att = 2x^2

Aq = l^2

Aq = (x + x + 3)^2

Aq = (2x + 3)^2

Aq = 4x^2 + 12x + 9

As = Aq - Att

As = 4x^2 + 12x + 9 - 2x^2

As = 2x^2 + 12x + 9

(As = 119m^2)

119 = 2x^2 + 12x + 9

2x^2 + 12x + 9 - 119 = 0

2x^2 + 12x - 110 = 0

2x^2 / 2 + 12x / 2 - 110 / 2 = 0 / 2

x^2 + 6x - 55 = 0

a = 1
b = 6
c = -55

Δ = b^2 - 4ac

Δ = 6^2 - 4 . 1 . (-55)

Δ = 36 + 220

Δ = 256

x = -b +- VΔ / 2a

x = -6 +- V256 / 2 . 1

x = -6 +- 16 / 2

x' = -6 + 16 / 2

x' = 10 / 2 = 5 ✔

x'' = -6 - 16 / 2

x'' = -22 / 2

x'' = -11

➡ x = 5

Espero ter ajudado, bons estudos!