Question

considere a expressão senx+cotgx / tgx.cossec x sabendo que x pertence ao terceiro quadrante e que cos(x)= -3/4 determine o valor da expressão anterior.

Answer 1

Temos a seguinte expressão,

$\dfrac{sen~x+cotg~x}{tg~x~.~cossec~x}$

Sabemos que o $cos~x= \dfrac{-3}{4}$, porém não sabemos o $sen~x$. Portanto, usaremos a seguinte propriedade para encontrá-lo,

$sen^2x+cos^2x=1$

Substituímos o cos x,

$sen^2x+ (\dfrac{-3}{4} )^2=1 \\ \\ \\ sen^2x+ \dfrac{9}{16} =1 \\ \\ \\ sen^2x=1- \dfrac{9}{16} \\ \\ \\ sen^2x= \dfrac{7}{16} \\ \\ \\ sen~x= \sqrt{ \dfrac{7}{16} } \\ \\ \\ \boxed{sen~x=- \dfrac{ \sqrt{7} }{4}}$

O sen x ficou com sinal negativo, pois como está no 3º quadrante o sen x é negativo.

Agora vamos resolver passo a passo. Sabemos que a cotg de x é dado pela seguinte propriedade,

$cotg~x= \dfrac{cos~x}{sen~x}$

Substituímos os valores,

$cotg~x= \dfrac{ \dfrac{-3}{4} }{ \dfrac{ -\sqrt{7} }{4} } \\ \\ \\ \\ cotg~x= \dfrac{-3}{\not4}~.~ \dfrac{\not-4}{ \sqrt{7} } \\ \\ \\ \\ cotg~x= \dfrac{3}{ \sqrt{7}}~.~ \dfrac{ \sqrt{7} }{ \sqrt{7} } \\ \\ \\ \\ \boxed{cotg~x= \dfrac{ 3 \sqrt{7} }{7}}$

A tg x pode ser encontrada pela seguinte propriedade,

$tg~x= \dfrac{sen~x}{cos~x}$

Substituímos os valores,

$tg~x= \dfrac{ \dfrac{- \sqrt{7} }{4} }{ \dfrac{-3}{4} } \\ \\ \\ \\ tg~x= \dfrac{- \sqrt{7} }{4}~.~ \dfrac{-4}{3} \\ \\ \\ \\ tg~x= \dfrac{4 \sqrt{7} }{12} \\ \\ \\ \\ \boxed{tg~x= \dfrac{ \sqrt{7} }{3} }$

O cossec x é dado pela seguinte propriedade,

$cossec~x= \dfrac{1}{sen~x}$

Notamos que é o inverso do sen x, portanto,

$cossec~x= \dfrac{-4}{ \sqrt{7}}~. ~ \dfrac{ \sqrt{7} }{ \sqrt{7} } \\ \\ \\ \\ \boxed{cossec~x= \dfrac{-4 \sqrt{7} }{7}}$

Pronto! Encontrado todos, podemos substituir os valores na expressão,

$\dfrac{ \dfrac{- \sqrt{7} }{4}+ \dfrac{3 \sqrt{7} }{7} }{ \dfrac{ \sqrt{7} }{3} ~.~ \dfrac{-4 \sqrt{7} }{7}} \\ \\ \\ \\ \dfrac{ \dfrac{-7 \sqrt{7}+ 12 \sqrt{7}}{28}}{ \dfrac{-4~.~7}{21} } =\dfrac{ \dfrac{5 \sqrt{7} }{28} }{ \dfrac{-28}{21} } = \dfrac{5 \sqrt{7} }{28} ~.~ \dfrac{-21}{28} = \boxed{-\dfrac{105 \sqrt{7} }{784}}$