Question

Considere a expressão
( imagem )

o valor de $\sqrt{e}$ é:

a) $\sqrt{3}$
b) $\sqrt[4]{50}$
c) $5 \sqrt{3}$
d) $\sqrt[4]{75}$
e) $5 \sqrt[4]{3}$

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Answer 1

Potenciação e radiciação

Vamos relembrar uma propriedade de potenciação e radiciação :

1)Potência de mesma base

$2^{x}.2^{y} = 2^{x+y}$

(potência de mesma base, podemos repetir a base e somar os expoentes )

2)  $x.\sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{y.x^n}$

Podemos colocar qualquer termo dentro da raiz, contando que elevemos o termo ao índice da raiz.

Exemplo :

$a.\sqrt[2]{b} = \sqrt[2]{b.a^2}$

$a.\sqrt[5]{b} = \sqrt[5]{b.a^5}$

3) $\sqrt{x.y} = \sqrt{x}.\sqrt{y}$

Podemos separar o produto como sendo o produto de duas raízes de ( de mesmo índice )

4) $\sqrt[n]{.\sqrt[x]{a}} = \sqrt[n.x]{a}$

Raiz de raiz, podemos juntar em uma raiz só contando que multipliquemos os índices.

exemplo :

$\sqrt[3]{\sqrt[2]{a}} = \sqrt[3.2]{5} = \sqrt[6]{5}$

Sabendo dessas propriedades, vamos para a nossa questão

Temos a seguinte expressão:

$E = \sqrt{\frac{2^{2020}+2^{2019}}{2^{2017}}} + \sqrt{27}$

Note que o menor dos termos é o $2^{2017}$, então vamos abrir as potências da seguinte forma :

$2^{2020} = 2^{2017}.2^{3}$  

$2^{2019} = 2^{2017}.2^{2}$

Vamos reescrever a expressão substituindo as potência da forma que abrimos :

$E = \sqrt{\frac{2^{2017}.2^{3}+2^{2017}.2^{2}}{2^{2017}}} + \sqrt{27}$

Agora, note que podemos colocar o $2^{2017}$ em evidência, ficando da seguinte forma :

$E = \sqrt{\frac{2^{2017}(2^{3}+2^{2})}{2^{2017}}} + \sqrt{27}$

agora podemos simplificar o $2^{2017}$ do numerador com o do denominador, restando apenas :

$E = \sqrt{2^3+2^2} + \sqrt{27}$

vamos calcular os temos por partes e depois só substituir

$2^3 = 8$

$2^2 = 4$

e

$\sqrt{27} = \sqrt{3^2.3} = 3.\sqrt{3}$

substituindo :

$E = \sqrt{8 + 4 } + 3\sqrt{3}$

$E = \sqrt{12} + 3\sqrt{3}$

$E = \sqrt{4.3} + 3\sqrt{3}$

Separando as raízes do produto ( usando a propriedade que vimos lá em cima )

$E = \sqrt{4}.\sqrt{3} + 3\sqrt{3}$

$E = 2.\sqrt{3} + 3.\sqrt{3}$

$E = 5\sqrt{3}$

vamos colocar o 5 para dentro da raiz ( usando a propriedade dada lá em cima )

$E = \sqrt{3.5^2}$ ⇒$E = \sqrt{3.25}$

$E = \sqrt{75}$

A questão pede $\sqrt{E}$, ou seja

$\sqrt{E} = \sqrt{\sqrt{75}}$

multiplicando os índices (usando a propriedade )

$\sqrt{E} = \sqrt[2.2]{75}$

$\sqrt{E} = \sqrt[4]{75}$

Alternativa D