Question

Considere a express˜ao
P(x) = x4 + x2 + 1 / x2 − 1 com x ̸= 1 e x ̸= −1. Determine o polinˆomio q(x) e as constantes A, B e C tais que P(x) =q(x) + A/x2−1 e A/x2-1=B/x-1 + C/x+1,com x diferente de 1 e x difrerente de -1.

Answer 1

Utilizando lógica de composição de polinomios, temos que A=1, B=1/2 e C =-1/2.

Explicação passo-a-passo:

Então temos o seguinte polinomio:

$P(x)=x^4+x^2+\frac{1}{x^2-1}$

E este polinomio também pode ser escrito como:

$P(x)=q(x)+\frac{A}{x^2-1}$

Logo comparando estas duas formas de escrever o mesmo polinomio, é obvio concluir que:

$q(x)=x^4+x^2$

$A=1$

Assim podemos ir a segunda pergunta, analisando a seguinte expressão:

$\frac{A}{x^2-1}=\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1}$

Onde queremos descobrir B e C, e como já sabemos quanto vale A:

$\frac{1}{x^2-1}=\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1}$

Agora, basta tirarmos o MMC do lado direito, multiplicando o primeiro por (x+1) e o segundo termo por (x-1):

$\frac{1}{x^2-1}=\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1}$

$\frac{1}{x^2-1}=\frac{B}{x-1}.\frac{x+1}{x+1}+\frac{C}{x+1}.\frac{x-1}{x-1}$

$\frac{1}{x^2-1}=\frac{B(x+1)}{(x-1)(x+1)}+\frac{C(x-1)}{(x+1)(x-1)}.$

$\frac{1}{x^2-1}=\frac{B(x+1)}{x^2-1}+\frac{C(x-1)}{x^2-1}$

Como as frações tem a mesma base, agora podemos soma-las:

$\frac{1}{x^2-1}=\frac{B(x+1)}{x^2-1}+\frac{C(x-1)}{x^2-1}$

$\frac{1}{x^2-1}=\frac{B(x+1)+C(x-1)}{x^2-1}$

$\frac{1}{x^2-1}=\frac{Bx+B+Cx-C}{x^2-1}$

$\frac{1}{x^2-1}=\frac{(B+C)x+(B-C)}{x^2-1}$

Agora podemos cortar os denominadores dos dois lados, por serem iguais:

$\frac{1}{x^2-1}=\frac{(B+C)x+(B-C)}{x^2-1}$

$1=(B+C)x+(B-C)$

Agora note que do lado esquerdo só tem números, e do lado direito tem letra e número, ou seja, para esta expressão ser verdade, é necessario que:

$B+C=0$

$B-C=1$

Assim resolvendo este sistema de equações:

$B=\frac{1}{2}$

$C=-\frac{1}{2}$

Então temos que A=1, B=1/2 e C =-1/2.