Question

Considere a equação x^2-3x-17=0 e sejam r e s suas raízes. Calcule r^2+s^2.

Answer 1

Vamos fazer isso de duas maneiras:

1ª maneira)
Calcularemos as raízes:

$x^2-3x-17=0\\\\\\ \Delta=b^2-4ac\\\\ \Delta=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-17)\\\\ \Delta=9+68=77\\\\\\ x=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{77}}{2\cdot1}=\dfrac{3\pm\sqrt{77}}{2}\\\\r=\dfrac{3+\sqrt{77}}{2}~~e~~s=\dfrac{3-\sqrt{77}}{2}$

Agora vamos calcular a expressão pedida:

$r^2+s^2=\left(\dfrac{3+\sqrt{77}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{3-\sqrt{77}}{2}\right)^2\\\\ r^2+s^2=\dfrac{9+6\sqrt{77}+77}{4}+\dfrac{9-6\sqrt{77}+77}{4}\\\\ r^2+s^2=\dfrac{9+6\sqrt{77}+77+9-6\sqrt{77}+77}{4}\\\\ r^2+s^2=\dfrac{9+77+9+77}{4}\\\\ r^2+s^2=\dfrac{172}{4}\\\\ \boxed{r^2+s^2=43}$

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2ª maneira)
A expressão pedida é:

$E=r^2+s^2\\\\ E=r^2+2rs+s^2-2rs\\\\ E=(r+s)^2-2rs$

Assim, não precisamos necessariamente calcular as raízes para encontrarmos o valor de E. Basta descobrirmos a soma das raízes (r+s) e o produto delas (rs). 

Numa equação da forma $ax^2+bx+c=0$, a soma das raízes é dada por $-\dfrac{b}{a}$ e o produto delas é dado por $\dfrac{c}{a}$. Assim:

$x^2-3x-17=0\\\\\\ r+s=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{(-3)}{1}\iff r+s=3\\\\ rs=\dfrac{c}{a}=\dfrac{(-17)}{1}\iff rs=-17\\\\\\ E=(r+s)^2-2rs\\\\ E=(3)^2-2\cdot(-17)\\\\ E=9+2\cdot17\\\\ E=9+34\\\\ E=43\\\\ \boxed{r^2+s^2=43}$