Question

considere a equação
$|2x - 6| = 3x - 4$
​

Answer 1

a) $\bf x\geq\dfrac{4}{3}.$

b) $\bf S=\{2\}.$

Explicação

É dada a seguinte equação modular:

$\Large|2x-6|=3x-4.$

Deseja-se saber qual a condição de existência da igualdade e qual seu conjunto solução.

Antes de responder aos dois itens desta tarefa, vamos recordar a definição de módulo.

_____

Módulo

Seja $x\in\mathbb{R}.$ Chama-se módulo ou valor absoluto de $x,$ denotado por $|x|,$ ao número obtido a partir da seguinte relação:

$\Large|x|=\begin{cases}x&\text{ se }x\geq0\\\\-x&\text{ se }x<0\end{cases}$

_____

Geometricamente, o módulo de um número pode ser visto como a distância do ponto cujo ele é coordenada à origem da reta real.

Desse modo, o módulo é sempre não negativo, isto é:

$\Large|x|\geq0.$

Então, para que uma igualdade do tipo

$\Large|x|=k$

exista, deve-se ter:

$\Largek\geq0.$

Agora, vamos à resolução dos dois itens desta questão.

Item a

Dada a equação

$\Large|2x-6|=3x-4,$

qual é a condição de existência da igualdade?

Como mencionado anteriormente, o módulo é sempre não negativo. Daí, devemos ter:

$\Large3x-4\geq0.$

Consequentemente, segue que:

$\Large\begin{gathered}3x-4\geq0\implies\\\\\implies3x\geq4\implies\\\\\implies x\geq\dfrac{4}{3}\end{gathered}$

Portanto, a condição de existência da igualdade dada é:

$\Large\boxed{\boxed{x\geq\dfrac{4}{3}.}}$

Item b

Considerando a condição de existência, qual a solução da equação dada?

Se $k>0$ e $|x|=k,$ então, lembrando a definição de módulo, temos:

$\Large\text{ x=k ou x=-k. }$

Desse modo, segue que:

$\Large|2x-6|=3x-4\implies\begin{cases}2x-6=3x-4&(i)\\\\2x-6=-(3x+4)&(ii)\end{cases}$

Equação (i):

$\Large\begin{gathered}2x-6=3x-4\\\\2x-3x=-4+6\\\\-x=2\\\\\boxed{x=-2}\end{gathered}$

Equação (ii):

$\Large\begin{gathered}2x-6=-(3x-4)\\\\2x-6=-3x+4\\\\2x+3x=4+6\\\\5x=10\\\\\boxed{x=2}\end{gathered}$

No entanto, como $x\geq\dfrac{4}{3},$ a solução $x=-2$ não é conveniente. Logo, o conjunto solução desta equação modular é:

$\Large\boxed{\boxed{S=\{2\}.}}$

Dúvidas? Comente.

Espero ter ajudado! :)