Question

Considere a equação kx^2+(2k+1)x+k+2=0

a) escreva uma expressão para o discriminante dessa equação.

b) para quais valores de k essa equação terá duas raízes reais e distintas?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Theus, que é simples a resolução.
Dada a equação do 2º grau: kx² + (2k+1)x + (k+2) = 0 , pede-se:

a) Escreva uma expressão para o discriminante dessa equação.
Veja que o discriminante de uma equação do 2º grau nada mais é do que o seu  Δ (delta =b² - 4ac).

Note que uma equação do 2º grau, da forma: ax² + bx + c = 0 o seu discriminante (ou delta, que simbolizamos por Δ) é dado por:

Δ = b² - 4ac ------ substituindo-se pelos coeficientes da equação da sua questão [kx² + (2k+1)x + (k+2) = 0], teremos:

Δ = (2k+1)² - 4*k*(k+2) ---- desenvolvendo, teremos:
Δ = 4k²+4k+1 - 4k²-8k ---- reduzindo os termos semelhantes:
Δ = - 4k + 1 <--- Este é o discriminante. Logo, esta é a resposta do item "a".

b) Para quais valores de "k" essa equação terá duas raízes reais e distintas?

Veja: uma equação do 2º grau terá duas raízes reais e distintas se e somente se o seu discriminante for MAIOR do que zero.
Como já temos que o discriminante é: "-4k+1" (conforme vimos aí em cima, na resposta ao item "a"), então, para que a função da sua questão tenha duas raízes reais e distintas, vamos impor que o seu discriminante seja MAIOR do que zero. Assim:

- 4k + 1 > 0
- 4k > -1 ----- multiplicando ambos os membros por "-1", teremos:
4k < 1
k < 1/4  ---- Esta é a resposta para o item "b".

A propósito, note que: quando se multiplica uma desigualdade por "-1" o seu sinal muda (o que for ">" passa para "<" e vice-versa, que foi o que aconteceu com a nossa expressão acima: o que era ">" passou para "<").

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.