Question

Considere a equação em , (z – 5 + 3i)⁴= 1. Se z0é a

solução que apresenta o menor argumento principal

dentre as quatro soluções, então o valor de -

|z0|

é​​​​

Answer 1

Resposta: $\sqrt{41}$

Explicação passo-a-passo:

(z – 5 + 3i)⁴= 1

z - 5 + 3i = 1 -> z = 6 - 3i (I)

z - 5 + 3i = -1 -> z = 4 - 3i (II)

z - 5 + 3i = i -> z = 5 - 2i (III)

z - 5 + 3i = -i -> z = 5 - 4i (IV)

Todos os afixos estão no quarto quadrante.

Vamos comparar os argumentos de cada número complexo. Para isso, vamos calcular a $tg(\theta)$ que é igual a parte complexa dividida pela parte real (basta olhar no plano de Argand-Gauss).

$tg(\theta_I) = -3/6 = -1/2\\tg(\theta_{II}) = -3/4\\tg(\theta_{III}) = -2/5\\tg(\theta_{IV}) = -4/5$

Olhando no ciclo trigonométrico, no quarto quadrante, quem tem menor valor da tangente tem o menor ângulo. Então o menor argumento pertence ao número complexo IV, já que ele possui a menor tangente..

O módulo de um número complexo é $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, então

$\sqrt{5^2 + (-4)^2}= \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}$.

Essa é uma questão ultra complexa (sem trocadilho). Qualquer dúvida, só responde ai nos comentários.