Considere a equação do segundo grau 8x2−4x−n=0, em que n é um parâmetro real. Para certo arco θ, 0 ≤ θ ≤ 2π, as raízes dessa equação são sen θ e cos θ.
a) Calcule o valor de n.
b) Determine –(sec θ + cossec θ).
Soluções para a tarefa
O valor de n é -4sen(θ) + 8sen²(θ); O valor de -(sec(θ) + cossec(θ)) é 1/(-sen(θ) + 2sen²(θ)).
a) Da equação do segundo grau 8x² - 4x - n = 0, temos que a = 8, b = -4 e c = -n.
Vamos considerar que x' = sen(θ) e x'' = cos(θ). Então:
x' + x'' = -b/a (soma das raízes)
sen(θ) + cos(θ) = 4/8
sen(θ) + cos(θ) = 1/2
e
x'.x'' = c/a (produto das raízes)
sen(θ).cos(θ) = -n/8.
De sen(θ) + cos(θ) = 1/2 podemos dizer que cos(θ) = 1/2 - sen(θ). Substituindo esse valor em sen(θ).cos(θ) = -n/8, obtemos:
sen(θ).(1/2 - sen(θ)) = -n/8
sen(θ)/2 - sen²(θ) = -n/8
n = -4sen(θ) + 8sen²(θ).
b) Como sec(θ) = 1/cos(θ) e cossec(θ) = 1/sen(θ) e com as informações obtidas no item anterior, então:
-(sec(θ) + cossec(θ)) = -(1/cos(θ) + 1/sen(θ)) = -((sen(θ) + cos(θ))/(sen(θ).cos(θ))) = -((1/2)/(-n/8)) = (1/2).(8/n) = 4/n = 1/(-sen(θ) + 2sen²(θ)).