Question

Considere a equação diferencial

5y′′+2y′−3y=0,

onde y=y(x).

Determine a solução que satisfaz as condições

y′(0)=0 e y(0)=−2.

Answer 1

Resposta:

$\sf 5y''+2y'-3y=0$

Essa é uma edo de 2ª ordem homogênea. Supondo que y = $\sf e^{\lambda x}$, teremos:

$\sf (5\lambda^2+2\lambda-3)\cdot e^{\lambda x}=0$

$\sf5\lambda^2+2\lambda-3=0,~ e^{\lambda x}\neq0$

Logo:

$\sf\lambda=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$\sf\lambda=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4(5)(-3)}}{2(5)}\Rightarrow\lambda=\dfrac{-2\pm\sqrt{4+60}}{10}$

$\sf\lambda=\dfrac{-2\pm\sqrt{64}}{10}\Rightarrow \lambda=\dfrac{-2\pm8}{10}$

$\sf\lambda_1=\dfrac{-2+8}{10}\Rightarrow\lambda_1=\dfrac{6}{10}\Rightarrow\lambda_1=\dfrac{3}{5}$

$\sf\lambda_2=\dfrac{-2-8}{10}\Rightarrow\lambda_2=-\dfrac{10}{10}\Rightarrow\lambda_2=-\,1$

Dado que são duas raízes reais e distintas, sua solução geral é definida por:

$\sf y(x)=c_1e^{\lambda_1x}+c_2e^{\lambda_2x}$

$\boxed{\sf y(x)=c_1e^{\frac{3}{5}x}+c_2e^{-\,x}}$

Encontrando agora sua derivada:

$\sf y'(x)=\frac{d}{dx}(c_1e^{\frac{3}{5}x}+c_2e^{-\,x})$

$\sf y'(x)=\frac{d}{dx}c_1e^{\frac{3}{5}x}+\frac{d}{dx}c_2e^{-\,x}$

$\sf y'(x)=c_1\cdot\frac{d}{dx}e^{\frac{3}{5}x}+c_2\cdot\frac{d}{dx}e^{-\,x}$

Faça u = (3/5)x e v = - x para aplicar a regra da cadeia:

$\sf y'(x)=c_1\cdot(\frac{d}{du}e^u\cdot\frac{d}{dx}u)+c_2\cdot(\frac{d}{dv}e^v\cdot\frac{d}{dx}v)$

$\sf y'(x)=c_1\cdot(e^u\cdot\frac{d}{dx}u)+c_2\cdot(e^v\cdot\frac{d}{dx}v)$

$\sf y'(x)=c_1\cdot(e^{\frac{3}{5}x}\cdot\frac{d}{dx}\frac{3}{5}x)+c_2\cdot(e^{-\,x}\cdot\frac{d}{dx}(-x))$

$\sf y'(x)=c_1\cdot(e^{\frac{3}{5}x}\cdot\frac{3}{5})+c_2\cdot(e^{-\,x}\cdot(-1))$

$\sf y'(x)=c_1\frac{3}{5}e^{\frac{3}{5}x}-c_2e^{-\,x}$

Dado a condição inicial y(0) = - 2, segue que:

$\sf y(0)=c_1e^{\frac{3}{5}\cdot0}+c_2e^{-\,0}=-\,2$

$\sf c_1e^0+c_2e^0=-\,2$

$\sf c_1\cdot1+c_2\cdot1=-\,2$

$\sf c_1+c_2=-\,2~(i)$

E se y'(0) = 0:

$\sf y'(0)=c_1\frac{3}{5}e^{\frac{3}{5}\cdot0}-c_2e^{-\,0}=0$

$\sf c_1\frac{3}{5}e^0-c_2e^0=0$

$\sf c_1\frac{3}{5}\cdot1-c_2\cdot1=0$

$\sf \frac{3}{5}c_1-c_2=0~(ii)$

Agora basta encontrar o valor das constantes pelas equações (i) e (ii).

$\sf c_1+c_2=-\,2\implies c_2=-\,2-c_1$

$\sf \frac{3}{5}c_1-(-\,2-c_1)=0$

$\sf \frac{3}{5}c_1+2+c_1=0$

$\sf \frac{3}{5}c_1+c_1=-\,2$

$\sf \frac{8}{5}c_1=-\,2$

$\sf c_1=-\,2\cdot\frac{5}{8}$

$\underline{\sf c_1=-\frac{5}{4}}$

$\sf c_2=-\,2-(-\frac{5}{4})$

$\sf c_2=-\,2+\frac{5}{4}$

$\underline{\sf c_2=-\frac{3}{4}}$

Logo, temos a solução particular que satisfaz as condições impostas:

$\red{\boxed{\sf y(x)=-\frac{5}{4}e^{\frac{3}{5}x}-\frac{3}{4}e^{-\,x}}}$