Question

Considere a equação diferencial

4y′′−4y′+y=0,

onde y=y(x).

Determine a solução que satisfaz as condições

y′(0)=3 e y(0)=−1.

Texto de resposta

Answer 1

Resposta:

$\sf 4y''-4y+y=0$

Supondo que y seja igual ao termo $\sf e^{\lambda x}$, encontramos a equação característica:

$\sf 4(e^{\lambda x})''-4(e^{\lambda x})'+e^{\lambda x}=0$

$\vdots$

$\sf (4\lambda^2-4\lambda+1)\cdot e^{\lambda x}=0$

$\sf 4\lambda^2-4\lambda+1=0,e^{\lambda x}\neq0$

Ao encontrar suas raízes:

$\sf (2\lambda)^2-2\cdot2\lambda\cdot1+1^2=0$

$\sf (2\lambda-1)^2=0$

$\sf |2\lambda-1|=\sqrt{0}$

$\sf 2\lambda-1=0$

$\sf 2\lambda=1$

$\sf \lambda_{1,2}=\frac{1}{2}$

Veremos que, por possuir duas raízes reais e iguais, a solução geral é definida por:

$\sf y(x)=c_1\cdot e^{\lambda_1 x}+c_2\cdot xe^{\lambda_2x}$

$\sf y(x)=c_1\cdot e^{\frac{1}{2}x}+c_2\cdot xe^{\frac{1}{2}x}$

Na qual derivando, obtém-se:

$\sf y'(x)=\frac{d}{dx}(c_1\cdot e^{\frac{1}{2}x}+c_2\cdot xe^{\frac{1}{2}x})$

$\sf y'(x)=\frac{d}{dx}(c_1\cdot e^{\frac{1}{2}x})+\frac{d}{dx}(c_2\cdot xe^{\frac{1}{2}x})$

$\sf y'(x)=c_1\cdot \frac{d}{dx}e^{\frac{1}{2}x}+c_2\cdot \frac{d}{dx}xe^{\frac{1}{2}x}$

$\sf y'(x)=c_1\cdot e^{\frac{1}{2}x}\cdot\frac{1}{2}+c_2\cdot (\frac{d}{dx}x\cdot e^{\frac{1}{2}x}+\frac{d}{dx}e^{\frac{1}{2}x}\cdot x)$

$\sf y'(x)=\frac{1}{2}c_1\cdot e^{\frac{1}{2}x}+c_2\cdot (1\cdot e^{\frac{1}{2}x}+e^{\frac{1}{2}x}\cdot\frac{1}{2}\cdot x)$

$\sf y'(x)=\frac{1}{2}c_1\cdot e^{\frac{1}{2}x}+c_2\cdot (e^{\frac{1}{2}x}+\frac{1}{2}xe^{\frac{1}{2}x})$

$\sf y'(x)=\frac{1}{2}c_1\cdot e^{\frac{1}{2}x}+ c_2\cdot e^{\frac{1}{2}x}+c_2\cdot\frac{1}{2}xe^{\frac{1}{2}x}$

$\sf y'(x)=\frac{1}{2}(c_1\cdot e^{\frac{1}{2}x}+c_2\cdot xe^{\frac{1}{2}x})+c_2\cdot e^{\frac{1}{2}x}$

Assim já podemos partir para as condições impostas a fim de obter o valor das constantes arbitrárias.

Se y(0) = - 1, então:

$\sf y(0)=c_1\cdot e^{\frac{1}{2}\cdot0}+c_2\cdot 0\cdot e^{\frac{1}{2}\cdot0}=-\,1$

$\sf c_1\cdot e^0+0=-\,1$

$\sf c_1\cdot 1=-\,1$

$\underline{\sf c_1=-\,1}$

E se y'(0) = 3, então:

$\sf y'(0)=\frac{1}{2}(c_1\cdot e^{\frac{1}{2}\cdot0}+c_2\cdot 0\cdot e^{\frac{1}{2}\cdot0})+c_2\cdot e^{\frac{1}{2}\cdot0}=3$

$\sf \frac{1}{2}(c_1\cdot e^0+0)+c_2\cdot e^0=3$

$\sf \frac{1}{2}c_1\cdot1+c_2\cdot 1=3$

$\sf \frac{1}{2}c_1+c_2=3$

$\sf c_2=3- \frac{1}{2}c_1$

$\sf c_2=3- \frac{1}{2}(-1)$

$\sf c_2=3+ \frac{1}{2}$

$\sf c_2=\frac{6+1}{2}$

$\underline{\sf c_2=\frac{7}{2}}$

Logo, a solução que obedece as condições dadas é:

$\red{\boxed{\sf y(x)=-\,e^{\frac{1}{2}x}+\dfrac{7}{2}\cdot xe^{\frac{1}{2}x}}}$