Question

Considere a equação: 25x2 + 16y2 + 50x - 80y + 25 = 0 que representa
uma elipse.
(a) Determine a equação canônica da elipse, o centro, os vértices focais e os vértices
não focais.
(b) Se P = (a, b) onde a > 0) é um dos vértices da elipse. Determine a equação da
parábola de vértice P e foco no centro da Elipse e encontre a equação da sua reta diretriz.
(c) Faça um esboço da parábola, indicando o vértice, o foco, a reta focal e a reta
diretriz.

Answer 1

A equação canônica da elipse é $\frac{(x+1)^2}{4}+\frac{(y-\frac{5}{2})^2}{\frac{25}{4}}=1$, o centro da elipse está no ponto $(-1,\frac{5}{2})$, os vértices focais estão nos pontos (-1,5) e (-1,0), enquanto os vértices não focais estão nos pontos $(1,\frac{5}{2}), (-3,\frac{5}{2})$. A equação da parábola com foco no centro da elipse é $x+1=8(y-\frac{5}{2})^2$, sendo x=-3 sua reta diretriz.

Qual é a equação canônica da elipse?

Para achar a equação canônica da elipse devemos extrair fator comum nos dois trinômios:

$25x^2+16y^2+50x-80y+25=0\\\\25(x^2+2x)+16(y^2-5y)+25=0\\\\25(x^2+2x+1)+16(y^2-5y)=0$

No trinômio de 'y' devemos completar quadrados, se o termo linear de um trinômio quadrado perfeito é igual ao duplo da raiz dupla, temos $y_1=y_2=\frac{5}{2}$, devemos adicionar nos dois membros $(\frac{5}{2})^2$:

$25(x^2+2x+1)+16(y^2-5y+\frac{25}{4})=16.\frac{25}{4}\\\\25(x^2+2x+1)+16(y^2-5y+\frac{25}{4})=100\\\\25(x+1)^2+16(y-\frac{5}{2})^2=100$

Podemos agora dividir em ambos membros por 16.25=400:

$\frac{25(x+1)^2}{100}+\frac{16(y-\frac{5}{2})^2}{100}=\frac{100}{100}\\\\\frac{(x+1)^2}{4}+\frac{(y-\frac{5}{2})^2}{\frac{25}{4}}=1$

O centro da elipse está no ponto $C(-1,\frac{5}{2})$, o eixo focal é a reta x=-1, paralela ao eixo 'x'. Os vértices não focais estão nos pontos:

$(-1+\sqrt{4},\frac{5}{2})=(1,\frac{5}{2})\\\\(-1-\sqrt{4},\frac{5}{2})=(-3,\frac{5}{2})$

E os vértices focais estão nos seguintes pontos:

$(-1,\frac{5}{2}+\sqrt{25/4})=(-1,5)\\\\(-1,\frac{5}{2}-\sqrt{25/4})=(-1,0)$

Qual é a equação da parábola associada?

O único vértice da elipse em que a>0 é o ponto $P(1,\frac{5}{2})$. Se esse deve ser o vértice da parábola e o eixo focal deve ser horizontal (para o foco estar no centro da elipse) tem-se:

$(x-1)=4c(y-\frac{5}{2})^2$

Como c é a distância entre o vértice e o foco tem-se c=1-(-1)=2, e a equação da parábola é:

$(x-1)=8(y-\frac{5}{2})^2$

A reta diretriz é a reta de equação x=-1-c=>x=-3.

Saiba mais sobre a equação de uma parábola em https://brainly.com.br/tarefa/32375095

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