considere a elipse de equaçao x²/25+y²/9=1. mostre que o ponto p,(3, 12/5) pertence a elipse e calcule a distância de P ao eixo das abscissas.
Soluções para a tarefa
x²/25 + y²/9 = 1
para o ponto P(3,12/5) temos x = 3 e y = 12/5
3²/25 + (12/5)²/9 =
9/25 + 144/(9*25) = 9/25 + 16/25 = 25/25 = 1
o ponto P pertence a elipse
distancia de P ao eixo das abscissas
d = 12/5
a) Mostre que o ponto (3,12/5) pertence à elipse e calcule a distância de P ao eixo das abscissas.
(1 parte) Para verificar se o ponto P pertence à elipse, basta substituir as coordenadas de P na equação:
x²/25 + y²/9 = 1 => 3²/25 + (12/5)²/9 = 1 => 9/25 + 144/25/9 = 1 =>
9/25 + 144/25 . 1/9 = 1
Multiplicando os dois membros por 25 (para eliminar o denominador) temos:
25 (9/25 + 144/25 . 1/9) = 25 (1) => 9 + 144/9 = 25 ∴ 16 = 16 (verdade!)
(2 parte) A distância de um ponto até o eixo das abscissas é simplesmente sua ordenada, isto é, a distância de P (3,12/5) ao eixo 0x é simplesmente 12/5
b) Deternube is vértices Q e R da elipse que pertencem ao eixo das abscissas e calcule a área do triângulo PQR onde P (3,12/5)
Para encontrar os pontos da elipse que pertencem ao eixo 0x, basta substituir na equação da elipse o y por 0, já que todo ponto no eixo das abscissas possui ordenada nula (y=0):
y = 0 => x²/25 + y²/9 = 1 => x²/25 + 0²/9 = 1 => x²/25 = 1 => x² = 5
∴ x = ±5
O que acabamos de fazer foi encontrar a abscissas dos pontos da elipse que pertencem ao eixo 0x, ou seja:
P = (5,0) e Q = (-5,0) ou vice-versa, pois não importa o nomenclatura que damos aos pontos.
Para calcular a área do triângulo PQR, podemos utilizar S= |D|/2, onde D é o determinante formado pelos 3 vértices do triângulo que devem ser organizados da seguinte forma: (imagem anexada)
Resolvendo o determinante, temos:
D = (0 + 0 - 12) - (0 + 12 + 0) = -12 -12 = -24 => S= |-24|/2 = 12 unidades²
Informações extras que não fazem parte da resolução do problema:
De início, analisando a equação da elipse, observamos que se trata de uma elipse com o centro C na origem, isto é, no ponto (0,0), seu eixo maior e menor medem, respectivamente, a = √25 = 5 e b = √9 = 3 (porque se tratam de distância, portanto, não assumem valor negativo), pois a > b. Além disso, como o a² é denominador do x², concluímos que o eixo maior (2a) é pararelo ao eixo 0x (eixo das abscissas).
