Question

Considere A e C invertiveis tais que:


$A^{-1}= \left[\begin{array}{ccc}-2&3&-1\\1&-3&1\\-1&2&-1\end{array}\right]$

$C^{-1}= \left[\begin{array}{ccc}1&0&2\\0&1&-1\\0&0&-1\end{array}\right]$

a) O sistema linear homogêneo AX= matriz nula, onde,$X= \left[\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right]$ e matriz nula=$X= \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\0\\\end{array}\right]$ , possui soluçao única (trivial) ou infinitas soluções? Justifique sua resposta.

b) Resolva o sistema linear (AC)X=B, onde $X= \left[\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right]$ e $= \left[\begin{array}{ccc}-1\\0\\2\end{array}\right]$

Answer 1

Vamos lá.

Dani, embora as questões sejam mais ou menos fáceis, mas vai dar um "trabalhão", pois se trata de matrizes de ordem 3.

i) Temos: considere as matrizes A e C invertíveis tal que:

..........|-2....3....-1|
A⁻¹ =  |1....-3......1|
..........|-1...2....-1|

..........|1.....0....2|
C⁻¹ = |0.....1....-1|
.........|0.....0....-1|

Agora chamaremos a matriz A como sendo: na primeira linha teremos: "a","b", "c"; na segunda linha teremos: "d", "e", "f"; e na terceira linha teremos: "g", "h", "i". Assim, multiplicaremos a matriz matriz A⁻¹ pela matriz A e igualaremos à matriz identidade correspondente (de ordem 3). Assim teremos:

..........|-2....3....-1|*|a.....b.....c| = |1.....0.....0|
.........|1....-3......1|*|d.....e......f| = |0.....1.....0|
.........|-1....2.....-1|*|g.....h......i| = |0.....0.....1| ---- para ganhar espaço (e tempo) vamos efetuar a multiplicação das duas matrizes e já colocando as igualdades correspondentes, ficando assim:

-2a+3d-g = 1  . (I) ;    -2b+3e-h = 0   . (II) ;    -2c+3f-i = 0   . (III)
a-3d+g = 0    . (IV) ;    b-3e+h = 1    . (V) ;    c-3f+i = 0      . (VI)
-a+2d-g = 0    (VII) ;    -b+2e-h = 0 . (VIII) ;    -c+2f-i = 1   . (IX)

Agora veja: ao somarmos a expressão (I) com a expressão (IV), membro a membro, encontraremos que: a = -1. Depois, ao substituirmos o "a" por "-1" nas expressões (I) e (VII) e somarmos membro a membro, encontraremos que: d = 0. Após isso, ao substituirmos "a" por "-1" e "d" por "0" em quaisquer uma das expressões que contêm as incógnitas "a", "d" e "g", vamos encontrar que: g = 1.
Fazendo algo parecido com as expressões (II), (V) e (VIII), vamos encontrar que: b = -1; e = -1 ; h = -1.
E, finalmente, fazendo algo semelhante com as expressões (III), (VI) e (IX), vamos encontrar que: c = 0; f = -1; i = -3.
Assim, a matriz A, constituída por: primeira linha: "a", "b", "c"; segunda linha: "d", "e", "f"; e terceira linha: "g", "h", "i", será esta:

.......|-1.....-1.....0|
A = |0......-1....-1|
......|1......-1....-3|

ii) Agora vamos responder a questão do item "a", que é esta:

a) O sistema homogêneo AX = matriz nula, informe se o sistema possui uma única solução (trivial) ou tem infinitas soluções. Assim, teremos:

 .......|-1.....-1.....0|*| x | = | 0 |
........|0......-1....-1|*| y | = | 0 |
.......|1......-1....-3|* | z | = | 0 | ---- efetuando-se o produto indicado entre as duas matrizes, vamos ter exatamente isto:

-1x - 1y + 0z = 0 ----- ou apenas: -x - y = 0      . (X)
0x - 1y - 1z = 0 ------ ou apenas: -y - z = 0       . (XI)
1x - 1y - 3z = 0 ------ ou apenas: x - y - 3z = 0  . (XII)

Agora veja: vamos tomar a expressão (X) e vamos encontrar o valor de "x".
A expressão (X) é esta:

- x - y = 0 ----- isolando "x", teremos:
- x = y --- multiplicando-se ambos os membros por "-1", ficamos com:
x = - y      . (XIII)
 
E se formos na expressão (XI), teremos isto:

- y - z = 0 ----- isolando "y", teremos;
- y = z --- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
y = - z      . (XIV)
Agora vamos na expressão (XII) e, nela, substituiremos "x" por "-y". A expressão (XII) é esta:

x - y - 3z = 0 ---- substituindo-se "x" por "-y" , teremos:
-y - y - 3z = 0 --- reduzindo os termos semelhantes, temos:
-2y - 3z = 0 --- para facilitar, poderemos multiplicar ambos os membros por "-1", ficando:

2y + 3z = 0     . (XV)

Mas vimos que, conforme a expressão (XIV), temos que: y = -z. Assim, substituindo na expressão (XV) acima, teremos:

2*(-z) + 3z = 0
- 2z + 3z = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, ficamos;
z = 0 <--- Este é o valor de "z".

Se z = 0, então vamos na expressão (XIV), que é esta:

y = - z --- substituindo-se "z" por "0", teremos;
y = - 0 ---- ou apenas:
y = 0

E, finalmente, se z = 0 e y = 0, e considerando que, conforme a expressão (XIII), temos que:

x = - y ---- substituindo-se "y" por "0", teremos;
x = - 0 --- ou apenas:
x = 0.

Assim, como você viu, temos

Finalmente, como  x = 0; y = 0; e z = 0, então teremos que o sistema dado só tem uma única solução (que é a solução trivial), e que é esta:

x = 0; y = 0; z = 0 <--- Esta é a resposta para o item "a".

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução {x; y; z} da seguinte forma, o que dá no mesmo:

S = {0; 0; 0}.

Agora veja, Dani: já saímos da nossa característica (que era fazer tudo passo a passo) para podermos economizar espaço e, assim, a resposta poder ser encaminhada sem nenhum problema. Note que em vez de construirmos a matriz A só fizemos informar como ela estaria escrita. Depois, ao fazermos as multiplicações de A*A⁻¹, em vez de colocarmos isso numa matriz, também só dissemos o que foi feito e já concluímos que os valores de cada elemento da matriz A seriam aqueles que demos e com os quais construímos a matriz A. E ela deveria ser mesmo construída pois teríamos que responder a questão do item "a", que é o que acabamos de fazer.
Dessa forma, para construir a matriz C iríamos ter esse mesmo trabalho e, com certeza, o espaço não iria ser suficiente. Então, depois você recoloca a questão e só responderemos ao item "b" da sua questão, ok?

É isso aí.

OK?
Adjemir.