Considere A e B matrizes quadradas de ordem 3 e 0 a matriz nula de mesma ordem. Então, é correto afirmar que
A
se AB = 0, então A = 0 ou B = 0.
B
se A = B, então det (A + B) = 2 det B.
C
se A = 2B, então det AB = 2 (det B)².
D
se A = 3B, então det (A + B) = 4³ det B.
E
se A = 4B, então det AB = 4 (det B)4.
Soluções para a tarefa
Analisando as alternativas sobre composição de matrizes e determinantes, temos que a alternativa correta é letra D).
Explicação passo-a-passo:
Vamos analisar alternativa pro alternativa:
A) se AB = 0, então A = 0 ou B = 0.
Falso, pois a multiplicação de determinante da o determinante da resultante, ou seja, se neste caso a resultante tem determinante 0, pois é a matriz 0, então basta que uma das matrizes tenha determinanter nulo, e não ela toda em si seja nula.
B) se A = B, então det (A + B) = 2 det B.
Falso, pois de A = B, então det(A+B) é a mesma coisa que det(2B), e quando se multiplica uma matriz por um escalar, o seu determinante é multiplicado por este escalar elevado a dimensão, ou seja, det(2B) = 2³det(B).
C) se A = 2B, então det AB = 2 (det B)².
Falso, pois de A = 2B, então det(AB) é a mesma coisa que det(2AB), e quando se multiplica uma matriz por um escalar, o seu determinante é multiplicado por este escalar elevado a dimensão, ou seja, det(2AB) = 2³det(AB).
D) se A = 3B, então det (A + B) = 4³ det B.
Verdadeiro, pois de A = 3B, então det(A+B) é a mesma coisa que det(3B+B)=det(4B), e quando se multiplica uma matriz por um escalar, o seu determinante é multiplicado por este escalar elevado a dimensão, ou seja, det(2AB) = 4³det(B).
E) se A = 4B, então det AB = 4 (det B)4.
Falso, pois se A = 4B, então det(AB) = det(A).det(B) = det(4B).det(B) = 4³.det(B).det(B) = 4³det(B)².