Question

Considere a e b dois números positivos tais que (9, a, b) é uma progressão geométrica e (a, b, 20)
é uma progressão aritmética. Nessas condições, o valor de a + b é
A-28
B-32.
C-42.
D-48.

Answer 1

O valor de a + b é 28, alternativa A.

A progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica , onde a razão entre dois termos consecutivos é a mesma. Essa diferença chamamos de razão.

$\boxed{\dfrac{b}{a} =\dfrac{a}{9} }$

A progressão aritmética (PA) é uma sequência numérica , onde a diferença entre dois termos é a mesma. Essa diferença chamamos de razão.

$\boxed{20-b= b-a}$    ou

$-2 b = -20-a\\\\2\cdot b = 20+a\\\\\boxed {b = \dfrac{a+20}{2} }$    

Substituindo a equação da PA na razão da PG, temos:

$\dfrac{\dfrac{a+20}{2} }{a} =\dfrac{a}{9}$

$\dfrac{a+20}{2\cdot a } =\dfrac{a}{9}$

Multiplicado os extremos pelos meios, temos:

$2\cdot a^2= 9\cdot (a+20)\\\\2\cdot a^2 = 9 \cdot a+180 \\\\\boxed{ 2a^2 -9\cdot a -180 = 0}$

Utilizado Bháskara, temos:

$\boxed{\boxed{x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 -4\cdot a\cdot c} }{2\cdot a}}}$

a= 2

b = -9

c = -180

$a = \dfrac{-(-9)\pm\sqrt{9^2 -4\cdot 2\cdot (-180)} }{2 \cdot 2}\\\\a = \dfrac{9 \pm \sqrt{81+1440} }{4}\\\\a = \dfrac{9\pm\sqrt{1521} }{4} \\\\a=\dfrac{9 \pm 39}{4} \\\\\boxed{a' = \dfrac{-15}{2}= -7,5}\\\\\boxed{a'' = 12}$

Substituindo os dois valores de a na equação:

$b= \dfrac{20+12 }{2} \\\\b = \dfrac{32}{2} \\\\\boxed{b = 16}$

Sendo assim

:$a + b = 12+16 \\\\\boxed{a+b=28}$

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