Question

Considere a curva cuja equação é 2y²x = x²(x + 2). Obtenha as equações das retas tangentes ao gráfico da curva nos pontos em que x = 2.

Answer 1

$\displaystyle 2\text y^2\text x=\text x^2(\text x+2) \\\\ 2\text y^2=\text x^2+2\text x\\\\ \underline{\text{Derivando parcialmente}} : \\\\ 4\text y.\text y'=2\text x+2 \\\\ \text y'=\frac{\text x+1}{2\text y}$

y' é o coeficiente angular da reta tangente, daí vamos achar o valor de y substituindo x =2 na função :

$2\text y^2=(2)^2+2.2 \\\\ 2\text y^2 =4+4 \\\\ \text y^2 = 4 \\\\ \text y=2 \ ; \ \text y=-2$

Substituindo x = 2 e y =2 em y' :

$\displaystyle \text y'=\frac{2+1}{2.2} \to \boxed{\text y'=\frac{3}{4}\ }$

Substituindo x = 2 e y = -2 em y' :

$\displaystyle \text y'=\frac{2+1}{2.(-2)} \to \boxed{\text y'=\frac{-3}{4}\ }$

Equação da reta tangente no ponto (2,2)

$\displaystyle\text y-2=\frac{3}{4}(\text x-2) \\\\\ 4\text y-8=3\text x- 6 \\\\ \huge\boxed{3\text x-4\text y+2=0\ }\checkmark$

Equação da reta tangente no ponto (2,-2) :

$\displaystyle \text y-(-2) = \frac{-3}{4}(\text x-2) \\\\ \text y+2=\frac{-3(\text x-2)}{4} \\\\ 4\text y+8=-3\text x+6 \\\\ \huge\boxed{3\text x+4\text y+2=0\ }\checmark$