Matemática, perguntado por natmedeiros, 1 ano atrás

Considere a cônica c: 5x² - 4xy + 8y² = 36. Para eliminar o termo xy da equação, precisamos rotacionar os eixos coordenados para os novos eixos v1 e v2, paralelos respectivamente aos vetores:

a) v1 = (1,1) e v2 = (1,-1)
b) v1 = (2,3) e v2 = (-3,2)
c) v1 = (1,2) e v2 = (-2,1)
d) v1 = (0,1) e v2 = (-1,0)
e) v1 = (2,1) e v2 = (-1,2)

Soluções para a tarefa

Respondido por deividsilva784
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Iremos utilizar a seguinte relação:

Cotg(2 \alpha ) =  \frac{A-C}{B}

Onde,

A é o coeficiente x² = 5
B é o coeficiente do fator misto xy = -4
C é o coeficiente de y² = 8

 \\ Cotg( 2\alpha ) =  \frac{5-8}{-4} 
 \\ 
 \\ Cotg( \alpha ) =  \frac{3}{4}

Lembrando que,

Cotg( x ) =  \frac{CA}{CO}

Então, 

CO = 4 
CA = 3

Hip² = Co²+Ca²

Hip² = (3)²+4²

Hip² = 25

hip = 5
-----------------

Lembrando que,

 \\ Cos \alpha  =   \sqrt{ \frac{1+Cos(2 \alpha )}{2} }
 \\ 
 \\ Cos \alpha  =  \sqrt{ \frac{1+  \frac{CA}{Hip} }{2} }
 \\ 
 \\ Cos \alpha =   \sqrt{ \frac{1+ \frac{3}{5} }{2} } 
 \\ 
 \\ Cos \alpha =  \sqrt{ \frac{ \frac{8}{5} }{2} } 
 \\ 
 \\ Cos \alpha = \sqrt{  \frac{8}{10}  } 
 \\ 
 \\ <br /><br />[tex] \\ Cos \alpha  =  \sqrt{ \frac{4}{5} } 
 \\ 
 \\  Cos \alpha  =  \frac{2 \sqrt{5} }{5}


Calculando o arcCos(α)

α ≈ 26,56°
------------------------

Ou seja, a cônica estrá com uma inclinação de 26,56 graus aproximadamente.

Agora indo nas alternativas e calculando a tangente de cada vetor veremos que a alternativa correta é a E)


tg \alpha  =  \frac{CO}{CA}

O vetor dado é:

V1 = (2i, 1j) 

 \\ tg \alpha  =  \frac{ V_{y} }{ V_{x} } =  \frac{1}{2} 
 \\ 
 \\ tg \alpha = 0,5
 \\ 
 \\  \alpha = arcTg(0,5)

α ≈ 26,56°

-------------------------

Tem um outra forma de calcular que é pela tg, que é mais simples:

tg2 \alpha  =  \frac{2tg \alpha }{1-tg^2 \alpha }


Como tg2α = CO/CA = 4/3

Então ficariamos:


 \\  \frac{4}{3} =  \frac{2tg \alpha }{1-tg^2 \alpha } 
 \\ 
 \\ 4(1-tg^2 \alpha ) = 3(2tg \alpha )
 \\ 
 \\ 4-4tg^ 2 \alpha = 6tg \alpha 
 \\ 
 \\ 2-2tg^2 \alpha =3tg \alpha 
 \\ 
 \\ 2tg^2 \alpha +3tg \alpha -2=0


Substituindo Tgα por "m"

2m²+3m-2 = 0

Calculando baskara:

a = 2
b = 3
c =-2

Δ = b²-4ac

Δ = 3²-4*2*(-2)

Δ = 25

 \\ m =  \frac{-b \frac{+}{-} \sqrt{DELTA}  }{2a} 
 \\ 
 \\ m =  \frac{-3\frac{+}{-} 5}{4} 
 \\ 
 \\ m' =  \frac{-8}{4} = -2
 \\ 
 \\ m'' =  \frac{2}{4}  =  \frac{1}{2}

Lembrando que tgα = m

 \\ Tg \alpha  = -2
 \\ 
 \\ ou
 \\ 
 \\ Tg \alpha  =  \frac{1}{2}

Olhando as alternativas, a alternativa E) é verdadeira

Pois, tg de v1 = 1/2

e

tg de v2 = -2
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