Question

Considere a cônica c: 5x² - 4xy + 8y² = 36. Para eliminar o termo xy da equação, precisamos rotacionar os eixos coordenados para os novos eixos v1 e v2, paralelos respectivamente aos vetores:

a) v1 = (1,1) e v2 = (1,-1)
b) v1 = (2,3) e v2 = (-3,2)
c) v1 = (1,2) e v2 = (-2,1)
d) v1 = (0,1) e v2 = (-1,0)
e) v1 = (2,1) e v2 = (-1,2)

Answer 1

Iremos utilizar a seguinte relação:

$Cotg(2 \alpha ) = \frac{A-C}{B}$

Onde,

A é o coeficiente x² = 5
B é o coeficiente do fator misto xy = -4
C é o coeficiente de y² = 8

$\\ Cotg( 2\alpha ) = \frac{5-8}{-4} \\ \\ Cotg( \alpha ) = \frac{3}{4}$

Lembrando que,

$Cotg( x ) = \frac{CA}{CO}$

Então, 

CO = 4 
CA = 3

Hip² = Co²+Ca²

Hip² = (3)²+4²

Hip² = 25

hip = 5
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Lembrando que,

$\\ Cos \alpha = \sqrt{ \frac{1+Cos(2 \alpha )}{2} } \\ \\ Cos \alpha = \sqrt{ \frac{1+ \frac{CA}{Hip} }{2} } \\ \\ Cos \alpha = \sqrt{ \frac{1+ \frac{3}{5} }{2} } \\ \\ Cos \alpha = \sqrt{ \frac{ \frac{8}{5} }{2} } \\ \\ Cos \alpha = \sqrt{ \frac{8}{10} } \\ \\  [tex] \\ Cos \alpha = \sqrt{ \frac{4}{5} } \\ \\ Cos \alpha = \frac{2 \sqrt{5} }{5}$


Calculando o arcCos(α)

α ≈ 26,56°
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Ou seja, a cônica estrá com uma inclinação de 26,56 graus aproximadamente.

Agora indo nas alternativas e calculando a tangente de cada vetor veremos que a alternativa correta é a E)


$tg \alpha = \frac{CO}{CA}$

O vetor dado é:

V1 = (2i, 1j) 

$\\ tg \alpha = \frac{ V_{y} }{ V_{x} } = \frac{1}{2} \\ \\ tg \alpha = 0,5 \\ \\ \alpha = arcTg(0,5)$

α ≈ 26,56°

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Tem um outra forma de calcular que é pela tg, que é mais simples:

$tg2 \alpha = \frac{2tg \alpha }{1-tg^2 \alpha }$


Como tg2α = CO/CA = 4/3

Então ficariamos:


$\\ \frac{4}{3} = \frac{2tg \alpha }{1-tg^2 \alpha } \\ \\ 4(1-tg^2 \alpha ) = 3(2tg \alpha ) \\ \\ 4-4tg^ 2 \alpha = 6tg \alpha \\ \\ 2-2tg^2 \alpha =3tg \alpha \\ \\ 2tg^2 \alpha +3tg \alpha -2=0$


Substituindo Tgα por "m"

2m²+3m-2 = 0

Calculando baskara:

a = 2
b = 3
c =-2

Δ = b²-4ac

Δ = 3²-4*2*(-2)

Δ = 25

$\\ m = \frac{-b \frac{+}{-} \sqrt{DELTA} }{2a} \\ \\ m = \frac{-3\frac{+}{-} 5}{4} \\ \\ m' = \frac{-8}{4} = -2 \\ \\ m'' = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Lembrando que tgα = m

$\\ Tg \alpha = -2 \\ \\ ou \\ \\ Tg \alpha = \frac{1}{2}$

Olhando as alternativas, a alternativa E) é verdadeira

Pois, tg de v1 = 1/2

e

tg de v2 = -2