Question

Considere a circunferência l que passa por P(-1, 4) e P'(-3, -2), sendo P' diametralmente oposto a P. Qual é a posição do ponto Q(-2, 4) em relação a l

Answer 1

Olá.

De P e P' são diametralmente opostos, então o ponto médio deles será o centro da circunferência, então, fazendo o ponto médio:

$x_O = \dfrac{x_P+x_{P'}}{2}= \dfrac{-1+(-3)}{2}=-2\\\\y_O = \dfrac{y_P+y_{P'}}{2}=\dfrac{4+(-2)}{2}=1\\\\\therefore O=(-2;1)$

O raio da circunferência é a distância entre O e P(ou O e P', é a mesma). Basta aplicarmos a equação da distância entre dois pontos.

$r_O=\sqrt{(x_P-x_O)^2+(y_P-y_O)^2}\\\\ r_O=\sqrt{[-1-(-2)]^2+[1-4]^2}\\\\r_O=\sqrt{1^2+(-3)^2}\\\\\underline{r_O=\sqrt{10}}$

Para saber a posição relativa de Q em relação a O, basta calcular sua distância ao centro. Se for menor que o raio, é interna. Se for igual ao raio, pertence à circunferência e, se for maior, é externo à circunferência.

$d_{OQ}=\sqrt{(x_O-x_Q)^2+(y_O-y_Q)^2}\\\\d_{OQ}=\sqrt{[-2-(-2)]^2+(1-4)^2}=\sqrt{0^2 +3^2 }\\\\ d_{OQ}=\sqrt9 = 3$

Portanto, como $d_{OQ}=3 < \sqrt{10} =r$, o ponto Q é interno à circunferência.