Question

Considere a circunferência de equação x² + y² = 7. A quantidade de pontos (x , y) de coordenadas inteiras que estão no interior dessa circunferência é:

Answer 1

A quantidade de pontos de coordenadas inteiras que estão no interior da circunferência de equação x² + y² = 7 é 21.

Explicação

Seja $\mathsf{\lambda}$ a circunferência de equação x² + y² = 7.

De início, note que:

$\mathsf{x^2+y^2=7}\implies\mathsf{x^2+y^2=\left(\sqrt{7}\right)^2}$

Ou seja, o raio dessa circunferência é $\mathsf{\sqrt{7}\approx 2{,}6}$.

Veja, na imagem anexa, a representação de $\mathsf{\lambda}$ no plano cartesiano.

Perceba que se um ponto (x, y) de coordenadas inteiras está no interior da circunferência, então x e y precisam pertencer, inicialmente, ao conjunto $\mathsf{\{-2, -1, 0, 1, 2\}}$.

Veja que há 25 = 5 · 5 possibilidades para esses pontos. No entanto, veja que os pontos (2, 2), (-2, 2), (-2, -2) e (2, -2) — em vermelho — estão fora de $\mathsf{\lambda}$, já que, para esses pontos, tem-se $\mathsf{x^2+y^2=8>\sqrt{7}.}$

Assim, excluindo esses 4 pontos das 25 possibilidades iniciais, temos 21 pontos.