Question

Considere a circunferencia de equação
$x^{2}+y^{2}+2x+2y-8+0$
Sabe- se que essa circunferencia intersecta o eixo x num ponto A e o eixo y num ponto B, conforme a figura a seguir

A equação da reta que passa por A e B é:

a)x+y-4=0
b)x+2y-4=0
c)x+2y-2=0
d)x+y-2=0

Answer 1

Temos a seguinte equação:

$\: \: \bullet \: \: \sf x {}^{2} + y {}^{2} + 2x + 2y - 8 = 0 \: \: \: \bullet$

Para encontrar a equação que passa pelo ponto A e B, basta analisar a informação de que:

• A circunferência toca os eixos x e y, isto é, quando ela toca o eixo x, quer dizer que ela possui um valor de x e o y é 0, já quando toca o eixo y, o contrário acontece, ela possui um valor de y e o x é 0.

→ Quando toca o eixo x:

Tocar o eixo x quer dizer um ponto (x,0), isto é, x possui um valor e y = 0. Portanto:

$\: \: \: \: \: \: \: \sf x {}^{2} + 0 {}^{2} + 2x + 2.0 - 8 = 0 \\ \sf x {}^{2} + 2x - 8 = 0$

Resolvendo a equação do segundo grau, chegamos aos valores x = 2 e x = -4. Note que o ponto A está no primeiro quadrante, ou seja, só admite valores positivos para x, isto é, devemos descartar o x = -4, pois não nós interessa neste cálculo. Então o ponto A passa a ser:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \sf A(2,0) \: \bullet$

→ Quando toca o eixo y:

Não será necessário fazer cálculo, pois será o mesmo resultado obtido acima, já que quando substituirmos o x por 0 obteremos a mesma equação, o diferente é que o ponto B será:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \sf B(0,2) \: \bullet$

Tendo encontrado os pontos, basta utilizar a equação fundamental da reta, dada por:

$\: \: \: \: \: \sf y - y_{0} = \frac{y_{b} - y_{a} }{x_{b} -x_{a}} .(x - x_{0} )$

Substituindo os dados temos que:

$\sf y -2= \frac{2 -0}{0 - 2} .(x-0 ) \: \: \to \: \: \sf y - 2 = \frac{2}{ - 2} .(x) \\ \\ \sf y - 2 = - 1.x \: \: \to \: \: \boxed{ \sf y + x - 2 = 0}$

Portanto, temos que a resposta é:

• Letra d)