Question

Considere a circunferência de equação cartesiana


(y): x^2 + y^2 = 4


As equações cartesianas para as retas que passam pelo ponto (4,0) e são tangentes à
circunferência (y), são:


(A) y = −1/√3(x − 4) e y=1/√3(x−4)


(B) y= −1/√2(x − 1) e y =1/√2(x−1)


(C) y = −1/√5(x − 5) e y =1/√5(x−5)


(D) y = − x+ 4 e y = x− 4


(E) y = − x e y = x


POR FAVOR :)

Answer 1

Resposta:

(A)

Explicação passo a passo:

Sendo $y=ax+b$ a equação das retas, como elas passam por $(4,0)$, temos que $4a+b=0\iff b=-4a$. Como as retas são tangentes à circunferência, a distância delas ao centro da circunferência deve ser igual ao raio. Pela equação $x^2+y^2=4$ tiramos que seu centro é $C(0,0)$ e raio é $r=2$.

Para uma reta de equação $ax+by+c=0$, a distância dela ao ponto $P(x_0,y_0)$ é $|ax_0+by_0+c|/\sqrt{a^2+b^2}$. Temos que $y=ax+b\iff ax-y+b=0$ é a equação equivalente para aplicar na fórmula. Aplicando a fórmula da distância do ponto à reta:

$\frac{|a\cdot0 -1\cdot0+b|}{\sqrt{a^2+1}}=2$

$|b|=2\sqrt{a^2+1}$

$b^2=4(a^2+1)=4a^2+4$

Sendo $b=-4a$:

$(-4a)^2=4a^2+4$

$16a^2=4a^2+4$

$12a^2=4$

$a^2=\frac{1}{3}\iff a=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$

Daí tiramos que $b=\mp 4/\sqrt{3}$, logo:

$y=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}x\mp\frac{4}{\sqrt{3}}$

$y=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}(x-4)$