Question

Considere a circunferência C : x² + y² - 4x - 6y - 12 = 0 e a reta
r : y = 2x +1, sendo k uma constante.

a) Calcule as coordenadas do centro e a medida do raio da circunferência C.

b) Calcule as coordenadas dos pontos de intersecção entre a circunferência C e a reta r.

Answer 1

•    Equação da circunferência:    $\mathsf{C:~x^2+y^2-4x-6y-12=0}$

•    Equação da reta:    $\mathsf{r:~y=2x+1}$

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a) Primeiramente vamos colocar a equação da circunferência na forma reduzida:

$\mathsf{C:~(x-x_{_O})^2+(y-y_{_O})^2=\rho^2}$

sendo o ponto $\mathsf{(x_{_O},\,y_{_O})}$ o centro e $\mathsf{\rho}$ é o comprimento do raio.


Partindo da equação dada e completando os quadrados:

$\mathsf{C:~x^2+y^2-4x-6y-12=0}\\\\ \mathsf{C:~x^2-4x+y^2-6y=12}\\\\ \mathsf{C:~x^2-2\cdot 2x+y^2-2\cdot 3y=12}$


Somamos $\mathsf{2^2+3^2}$ a ambos os lados para obtermos quadrados perfeitos no lado esquerdo:

$\mathsf{C:~\underbrace{\mathsf{x^2-2\cdot 2x+2^2}}+\underbrace{\mathsf{{y^2-2\cdot 3y+3^2}}}=12+2^2+3^2}\\\\\\ \mathsf{C:(x-2)^2+(y-3)^2=12+4+9}\\\\ \mathsf{C:(x-2)^2+(y-3)^2=25}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{C:(x-2)^2+(y-3)^2=5^2} \end{array}}\qquad\quad\mathsf{(i)}$


Da equação reduzida acima, tiramos que

•   o centro é o ponto $\mathsf{(x_{_O},\,y_{_O})=(2,\,3);}$

•   o raio é $\mathsf{\rho=5~u.c.}$

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b) Encontrar as interseções da circunferência com a reta.

Isto é equivalente a encontrar as soluções do seguinte sistema:

$\left\{\! \begin{array}{l} \mathsf{x^2+y^2-4x-6y-12=0}\\\\ \mathsf{y=2x+1} \end{array} \right.$


Podemos usar o $\mathsf{y}$ da equação da reta e substituir na equação da circunferência:

$\mathsf{y=2x+1}\\\\\\ \mathsf{x^2+(2x+1)^2-4x-6(2x+1)-12=0}\\\\ \mathsf{x^2+(4x^2+\diagup\!\!\!\!\! 4x+1)-\diagup\!\!\!\!\! 4x-12x-6-12=0}\\\\ \mathsf{5x^2-12x-17=0}$


Podemos utilizar qualquer método para resolver a equação quadrática acima. Aqui, vou utilizar fatoração por agrupamento.

Reescrevendo convenientemente $\mathsf{-12x}$ como $\mathsf{-17x+5x,}$ obtemos

$\mathsf{5x^2-17x+5x-17=0}\\\\ \mathsf{x\cdot (5x-17)+1\cdot (5x-17)=0}\\\\ \mathsf{(5x-17)\cdot(x+1)=0}\\\\ \mathsf{\begin{array}{rcl} \mathsf{5x-17=0}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x+1=0}\\\\ \mathsf{5x=17}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x=-1}\\\\ \mathsf{x=\dfrac{17}{5}}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x=-1} \end{array}}$


•   Para $\mathsf{x=\dfrac{17}{5},}$

$\mathsf{y=2\cdot \dfrac{17}{5}+1}\\\\\\ \mathsf{y=\dfrac{2\cdot 17}{5}+\dfrac{5}{5}}\\\\\\ \mathsf{y=\dfrac{34}{5}+\dfrac{5}{5}}\\\\\\ \mathsf{y=\dfrac{34+5}{5}}\\\\\\ \mathsf{y=\dfrac{39}{5}\qquad\checkmark}$


Encontramos um ponto de interseção que é o $\mathsf{\Big(\dfrac{17}{5},\,\dfrac{39}{5}\Big).}$


•   Para $\mathsf{x=-1,}$

$\mathsf{y=2\cdot (-1)+1}\\\\ \mathsf{y=-2+1}\\\\ \mathsf{y=-1\qquad\checkmark}$


Encontramos outro ponto de interseção que é o $\mathsf{(-1,\,-1).}$


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Bons estudos! :-)


Tags: coordenadas centro raio circunferência reta ponto interseção geometria analítica