Question

Considere a circunferência C de equação 3x²+3y²-6x+12y+14=0 e centro E, a reta r de equação y=ax+1, sendo a € aos Reais, e dois pontos A, B € r tais que a medida do segmento de reta AB seja igual a 2.

1. Determine o centro E e o raio da circunferência C.

2. Encontre os valores de a para os quais a área do triângulo ABE é igual a √5.​

Answer 1

Resposta:

As soluções são:

1. O centro da circunferência tem coordenadas (1,-2) e raio medindo √3/3 u.c. (unidades de comprimento).

2. Os possíveis valores de "a" para que a área do triângulo ABE seja igual a √5 são a = -1/2 e a = 2.

Explicação passo a passo:

Para responder a essa questão vamos aplicar alguns conceitos de geometria analítica.

Equação reduzida da circunferência

(x - x₀)² + (y - y₀)² = r²

Centro C = (x₀ , y₀) e raio r

Distância de um ponto a reta

$d(P,r)=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

1. Dada a equação 3x² + 3y² - 6x + 12y + 14 = 0 para passar a equação da forma geral para a forma reduzida utilizamos o método de completar quadrados.

3(x² - 2x + ... ) + 3(y² + 4y + ... ) = - 14

3(x² - 2x + 1) + 3(y² + 4y + 4) = - 14 + 3 + 12

(x - 1)² + (y + 2)² = 1/3

Centro E = (1, -2) e raio r = √3/3

2.Como o segmento AB está contido na reta y = ax + 1 e AB = 2, já temos a base do triângulo ABE.

Para determinar a altura do triângulo basta calcularmos a distância do ponto E até a reta r.

$A_{ABE}=\dfrac{base \times altura}{2}\\\\A_{ABE}=\dfrac{2\cdot \dfrac{|ax-y+1|}{\sqrt{a^2+1}}}{2}=\sqrt{5}$

Substituindo as coordenadas do ponto E:

$\dfrac{|a\cdot 1-1\cdot (-2)+1|}{\sqrt{a^2+1}}=\sqrt{5}\\\\|a+3|=\sqrt{5a^2+5}\\\\(a+3)^2=5a^2+5\\\\a^2+6a+9=5a^2+5\\\\2a^2-3a-2=0\\\\a'=-\dfrac{1}{2} \ e \ a''=2$