Question

Considere a circunferência a seguir, em que AD, é um diâmetro e AB, BD, AC e CD são cordas. Se o raio dessa circunferência mede 6,5 cm e as cordas AB e CD medem 3 cm e 5 cm, respectivamente, determine as medidas das cordas BD e AC.

Answer 1

As cordas $\overline{BD}$ e $\overline{AC}$ valem, respectivamente, $4\sqrt{10}~cm$ e $12~cm$

Propriedades:

• $P_1$ - O diâmetro $~d$ de uma circunferência é igual a duas vezes o raio:  $d=2r~~$;
• $P_2$ - Se temos um triângulo inscrito (dentro) em uma circunferência  e com um dos seus lados igual ao diâmetro, ele é um triângulo retângulo, e sua hipotenusa é o diâmetro da circunferência.

O enunciado nos deu que a corda $\overline{AD}$ é o diâmetro e que o raio $r=6,5~cm$, então pela propriedade $P_1$:

$d=2r\\\\\overline{AD}=2 \cdot 6,5~cm\\\\\overline{AD}=13~cm$

Pela propriedade $P_2$, o triângulo $\triangle{ABD}$ é retângulo, então sua hipotenusa é o diâmetro $\overline{AD}=13~cm$ e os catetos são as cordas $\overline{AB}$ e $\overline{BD}$.

O enunciado nos deu que a corda $\overline{AB}=3~cm$, então pelo Teorema de Pitágoras:

$(\overline{AB})^2+(\overline{BD})^2=(\overline{AD})^2\\\\3^2+(\overline{BD})^2=13^2\\\\9+(\overline{BD})^2=169\\\\(\overline{BD})^2=169-9\\\\(\overline{BD})^2=160\\\\\overline{BD}=\pm\sqrt{160}$

Fatorando $\sqrt{160}$:

$\begin{array}{r|l}160&2\\80&2\\40&2\\20&2\\10&2\\5&5\\1&\!\!\!\overline{\:160=2^2 \cdot2^2 \cdot 2 \cdot 5}\end{array}\\\\\\\ \pm\sqrt{160}=\sqrt{2^2 \cdot2^2 \cdot 2 \cdot 5} =\pm4\sqrt{10}$

Como estamos trabalhando com uma medida de distância, o valor $-4\sqrt{10}$ é descartado.

Portanto, $\boxed{\overline{BD}=4\sqrt{10}~cm}$

De forma análoga, o triângulo $\triangle{ACD}$ é retângulo, então sua hipotenusa é o diâmetro $\overline{AD}=13~cm$ e os catetos são as cordas $\overline{AC}$ e $\overline{CD}$.

O enunciado nos deu que a corda $\overline{CD}=5~cm$, então:

$(\overline{CD})^2+(\overline{AC})^2=(\overline{AD})^2\\\\5^2+(\overline{AC})^2=13^2\\\\25+(\overline{AC})^2=169\\\\(\overline{AC})^2=169-25\\\\(\overline{AC})^2=144\\\\\overline{AC}=\pm\sqrt{144}\\\\\overline{AC}=\pm12$

Como estamos trabalhando com uma medida de distância, o valor $-12$ é descartado.

Portanto, $\boxed{\overline{AC}=12~cm}$

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