Question

Considere a aplicação(T : R2→ R3(x, y) → T(x, y) = (x − y, 0,x)
Calcule T(2, 1), T(y, 1), T(y, x) e T(x + 2y, y − x). Em seguida, mostre que a aplicação T
é uma transformação linear. Preciso URGENTEMENTE SOCORRO

Answer 1

Resposta:

T (x, y)=(x-y, 0, x)

Em T (2,1) temos x=2 e y=1, assim

T (2,1)=(2-1, 0, 2)= (1,0,2)

Em T (y,1) temos "x=y" (entenda x como a primeira componente do vetor. Um vetor genérico de R2 seria (x,y), como a primeira componente do vetor é x acabamos nos referindo a primeira componente como x, isso pode gerar confusões) e y=1, assim

T (y,1)=(y-1, 0, y)

Em T (y,x) temos "x=y" e "y=x", assim

T (y,x)=(y-x, 0, y)

Em T (x+2y, y-x) temos "x=x+2y" e "y=y-x"

T (x-2y, y-x)= ( x-2y-(y-x), 0, x-2y)=

=(x-2y-y+x, 0, x-2y)=(2x-3y, 0, x-2y)

Agora para mostrar que essa aplicação T é uma transformação linear é necessário que: dados dois vetores genéricos u=(x1,y1) e v=(x2,y2) pertencentes ao IR2, verificam-se as propriedades

i) T (u)+T (v)=T (u+v)

T(u)+T (v)=T (x1,y1)+T (x2,y2)=

=(x1-y1, 0, x1)+(x2-y2, 0, x2)=

=(x1-y1+x2-y2, 0, x1+x2)=

=((x1+x2)-(y1+y2), 0, x1+x2)=

=T (x1+x2,y1+y2)=T ((x1,y1)+(x2,y2))=

=T (u+v)

□

ii) αT (u)=T (αu)

αT (u)=αT (x1,y1)=α(x1-y1, 0, x1)=

= (α(x1-y1), 0, αx1)=

=(αx1-αy1, 0, αx1)=

=T (αx1, αy1)=T (α(x1,y1))=T (αu)

□

Portanto T: IR2 -> IR3, T (x,y)=(x-y, 0, x) é uma Transformação Linear.