Question

Considere a = 3,456789456789 a) O número é racional ou irracional? Justifique. b) Encontre um número irracional b, tal que 86/25 < b < a.

Answer 1

Olá.

 

Para resolver essa questão, é importante compreendermos as definições dos conjuntos dos números racionais e irracionais.

 

     Um número pertence ao conjunto dos números racionais -  - quando for inteiro ou uma dízima periódica (as dízimas que tem um período de repetição). Podemos afirmar que todo racional pode ser escrito em forma de fração(usaremos isso mais tarde).

 

    Um número pertence ao conjunto dos números irracionais -  - quando ele não pode ser escrito em forma de fração. Um exemplo clássico está nas raízes.

 

Com base no que foi falado, vamos responder as questões dadas.

$\textsf{--------------------------------------------------}$

Questão A - O número a (3,456789456789) é racional ou irracional? Justifique.

 

O enunciado não limitou muito o valor de a, logo, podemos interpretar esse número de duas maneiras: (I) como um decimal exato ou (II) como uma dízima periódica. Em ambos os casos podemos escrever o valor de "a" em forma de fração, o que satisfaz a definição de racional.

Demonstro as frações possíveis:

$\mathsf{a=3,456789456789~\therefore~a=\dfrac{3.456.789.456.789}{1.000.000.000.000}}\\\\\\\\ \mathsf{a=3,\overline{456789}~\therefore~a=3+\dfrac{456.789}{999.999}=\dfrac{3.456.786}{999.999}}\\\\\\ \mathsf{a=3,\overline{456789}~\therefore~a=\dfrac{1.152.262}{333.333}}$

$\textsf{--------------------------------------------------}$

Questão B - Encontre um número irracional b, tal que 86/25 < b < a

 

Dividindo 86 por 25, teremos como resultado 3,44. Já podemos afirmar que a > 86/25, pois, 3,45678945 > 3,44.

 

Para encontrar um b irracional, podemos supor um valor que satisfaça a inequação e depois elevar esse valor ao quadrado, colocando uma aproximação do resultado dentro de uma raiz. O valor de b que elevaremos ao quadrado poderá ser afirmado a forma abreviada da raiz.

 

Teremos:

 

3,45678945 > b > 3,44

 

Se b for 3,455 já satisfaz, logo, teremos:

 

$\mathsf{3,455^2=11,937025}$

 

Com ajuda de uma calculadora, podemos calcular o valor de raiz de 11,94.Teremos como resultado: 3,4554305086341991143289679323779..., ou seja, uma dízima não periódica que satisfaz o enunciado. Com isso, teremos a inequação completa:

 

$\mathsf{3,45678945>b>a}\\\\\underline{\mathsf{3,45678945>\sqrt{11,94}>3,44}}$

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos