Question

considere 3+4+5,... an=75 qual é o valor de n?​

Answer 1

Esta expressão representa a soma dos termos de uma Progressão Aritmética finita. Onde:

$a_1 = 3$

e:

$r=1$

$a_1$ é o primeiro termo e $r$ é a razão da P.A. A soma dos termos de uma P.A. finita pode ser calculada por:

$S_n = \dfrac{(a_1+a_n) \cdot n}{2}$

Mas você conhece a soma, o primeiro termo e a razão. Lembre que o enésimo termo da P.A. é:

$a_n = a_1 + (n-1) \cdot r$

Assim podemos reescrever a expressão da seguinte maneira:

$S_n = \dfrac{(a_1+a_1 + (n-1) \cdot r) \cdot n}{2}$

Substituindo os valores:

$75 = \dfrac{(3+3 + (n-1) \cdot 1) \cdot n}{2}$

Multiplicando por 2 em ambos os lados:

$75 \cdot 2 = \dfrac{(6 + (n-1)) \cdot n}{2}\cdot 2$

$150 = (6 + n-1) \cdot n$

$150 = (5 + n) \cdot n$

Fazendo a distributiva:

$150 = n^2 + 5 \cdot n$

Passando o 150 para o outro lado:

$n^2 + 5 \cdot n - 150 = 0$

Chegamos a uma equação do 2° grau da forma $a \cdot n^2 + b \cdot n + c = 0$. Resolvendo por Bhaskara:

$n= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

Com a = 1, b = 5 e c = -150[/tex]

$n = \dfrac{-5 \pm \sqrt{5^2-4 \cdot 1 \cdot (-150)}}{2 \cdot 1}$

$n = \dfrac{-5 \pm \sqrt{25+600}}{2}$

$n = \dfrac{-5 \pm \sqrt{625}}{2}$

$n = \dfrac{-5 \pm 25}{2}$

As duas soluções possíveis são:

$n_1 = \dfrac{-5 + 25}{2}$

$n_1 = \dfrac{20}{2}$

$n_1 = 10$

e:

$n_2 = \dfrac{-5 - 25}{2}$

$n_2 = -\dfrac{30}{2}$

$n_2 = -15$

Mas, como n representa o número de termos, esse número precisa ser positivo. Logo, a única solução válida é:

$\boxed{n = 10}$

Answer 2

resolução!

r = a2 - a1

r = 4 - 3

r = 1

an = a1 + ( n - 1 ) r

an = 3 + ( n - 1 ) 1

an = 3 + n - 1

an = n + 2

Sn = ( a1 + an ) n / 2

75 = ( 3 + n + 2 ) n / 2

150 = 5n + n^2

n^2 + 5n - 150 = 0

D = 5^2 - 4 * 1 * (-150)

D = 25 + 600

D = 625

n ' = - 5 + 25/2

n ' = 20/2

n ' = 10

n " = - 5 - 25/2

n " = - 30/2

n " = - 15

resposta: 10