Question

Considerando uma função f(x) diferenciável e a curva dada por
f(x)cos(y)+f(y)cos(x)=2
a) Determine uma expressão para y′, a derivada de y em relação a x, em um ponto (x,y) da curva;
b) Calcule y′ em (0,π) sabendo que f(0)=1,f′(0)=2,f(π)=3 e f′(π)=4.

Answer 1

Resposta:

As soluções são:

a) $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{f(y)\cdot sen(x)-f'(x)\cdot cos(y)}{f'(y)\cdot cos(x)-f(x)\cdot sen(y)}$

b) $y'(x)=\dfrac{1}{2}$

Explicação passo a passo:

a) Determine uma expressão para y′, a derivada de y em relação a x, em um ponto (x,y) da curva;

Dada a função $f(x)\cdot cos(y) + f(y)\cdot cos(x)= 2$ derivando implicitamente aplicando a derivada do produto temos:

$f'(x)\cdot cos(y)-f(x)\cdot \dfrac{dy}{dx}\cdot sen(y)+\dfrac{dy}{dx}\cdot f'(y)\cdot cos (x)-f(y)\cdot sen(x)=0\\ \\ \dfrac{dy}{dx}\cdot \left(f'(y)\cdot cos(x)-f(x)\cdot sen(y)\right)=f(y)\cdot sen(x)-f'(x)\cdot cos(y)\\ \\ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{f(y)\cdot sen(x)-f'(x)\cdot cos(y)}{f'(y)\cdot cos(x)-f(x)\cdot sen(y)}$

b) Calcule y′ em (0,π) sabendo que f(0)=1,f′(0)=2,f(π)=3 e f′(π)=4.

Substituindo os dados do enunciado na derivada obtida no item a) temos:

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{f(y)\cdot sen(x)-f'(x)\cdot cos(y)}{f'(y)\cdot cos(x)-f(x)\cdot sen(y)}\\ \\ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3\cdot sen(0)-2\cdot cos(\pi)}{4\cdot cos(0)-1\cdot sen(\pi)}\\ \\ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$