Question

Considerando uma elipse com centro na origem, focos num dos eixos coordenados e passando pelos pontos (5 , 0) e (0 , 13), determine os focos da elipse. * 1 ponto a) (13 , 0) e (-13 , 0) b) (0 , 13) e (0 , -13) c) (12 , 0) e (-12 , 0) d) (0 , 12) e (0 , -12)

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{d)~(0, 12)~e~(0, -12)}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá,  bom dia.

Para encontrarmos a equação geral da elipse, devemos relembrar algumas propriedades.

Elipses são cônicas geradas a partir de um corte oblíquo em relação à geratriz do cone. Suas equações reduzidas podem ser escritas em duas formas, a depender das características que ela assume. Veja:

• Quando a elipse tem eixo maior horizontal, sua equação reduzida será $\dfrac{(x-x_c)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_c)^2}{b^2}=1}$, na qual $(x_c,~y_c)$ são as coordenadas do centro da elipse, $a$ e $b$ são as metades das medidas do eixo maior e do eixo menos, respectivamente.
• Quando a elipse tem eixo maior na vertical, sua equação reduzida será $\dfrac{(y-y_c)^2}{a^2}+\dfrac{(x-x_c)^2}{b^2}=1}$, e as coordenadas do centro e as medidas dos eixos se comportam da mesma forma.

Como podemos ver, ela tem centro na origem e passa pelos pontos $(5,~0)$ e $(0,~13)$. A informação de que ela tem foco em um dos eixos não é importante, visto que o fato de ela ter centro na origem determina isto.

Porém, a posição dos pontos que ela passa define qual equação utilizaremos, visto que seu eixo maior será na vertical.  Utilizamos então a fórmula:

$\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1$

O ponto $(0,~13)$ nos diz a medida de seu semieixo $a$, enquanto o outro ponto $(5,~0)$ nos diz a medida de seu semieixo $b$. Portanto, temos que $a=13$ e $b=5$.

Em elipses, para calcularmos as posições dos focos, utilizamos o teorema de Pitágoras. Temos que $a^2=b^2+c^2$, na qual o valor de $c$ determina as coordenadas do foco, que obecedem esta configuração quando seu eixo maior está na vertical:

$(y_c,~c)$ e $(y_c,-c)$.

Substituindo os valores no teorema, temos:

$13^2=5^2+c^2$

Calcule as potências

$169=25+c^2$

Subtraia 25 em ambos os lados, para isolar $c$

$c^2=169-25\\\\\\ c^2=144$

Retire a raiz quadrada em ambos os lados da equação

$c=\pm~\sqrt{144}$

Simplifique a raiz, sabendo que $144=12^2$

$c=\pm~12$

Porém, como se trata de uma figura geométrica, utilizamos somente a solução positiva:

$c=12~~\checkmark$

Substituindo as coordenadas do centro e o valor de $c$ que encontramos, temos que:

As coordenadas dos focos são $(0,~12)$ e $(0,-12)$

Veja na imagem: A soma das distância de qualquer ponto pertencente à elipse aos focos é igual ao valor do eixo maior $(P_{F_1}+P_{F_2}=2a)$. Esta é uma propriedade de elipses que é satisfeita no caso que calculamos.

Answer 2

Resposta:

1 - D

Explicação passo-a-passo:

: )