Question

Considerando todos os números naturais entre 874 e 2495 quantos deles são divisíveis:

a) por 6 b)por 3 ou 8?

Answer 1

a) Devemos utilizar a fórmula do termo geral da PA e encontrar o primeiro e último múltiplos de 6 no intervalo. O primeiro é 876 e o último é 2490. Assim, temos:

an = a1 + (n-1)r

2490 = 876 + (n-1).6

n - 1 = 269

n = 270

b) O princípio de inclusão e exclusão de dois conjuntos nos diz que a união entre dois conjuntos é calculada pela fórmula:

n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B)

Como neste caso os conjuntos são A = números divisíveis por 3, B = números divisíveis por 8, então devemos encontrar quantos números são divisores de 3 e/ou 8.

Considerando uma sequência de termos múltiplos de 3 (876, 879, ..., 2493) o primeiro termo é 876 e o último termo é 2493. Utilizando a fórmula do termo geral da P.A, temos que o número de múltiplos de 3 é:

2493 = 876 + (n-1)*3

n - 1 = 539

n(A) = 540

Fazendo o mesmo para 8 , temos:

2488 = 880 + (n-1)*8

n - 1 = 201

n(B) = 202

Os números que são divisores de 3 e 8 ao mesmo tempo são todos divisores de 24, portanto, o conjunto n(A∪B) calcula-se:

2472 = 888 + (n-1)*24

n - 1 = 66

n(A∩B) = 67

Os divisores de 3 ou 8 são:

n(A∪B) = 540 + 202 - 67

n(A∪B) = 675