Question

Considerando todos os números complexos z = x+yi que satisfazem a relação |z-3+5i|=6, escreva na forma algébrica aquele que possuir:

a) menor valor numérico para y

b) maior valor numérico para y

c) menor valor numérico para x

d) maior valor número para x

Answer 1

Primeiro, vamos substituir a equação dada de z na relação dada:

$\left \{ {{|z-3+5i|=6} \atop {z = x+yi}} \right. =| x+yi-3+5i|=6\\ =| (x-3)+(5+y)i|=6$
 
Agora, vamos ajustar a equação que encontramos para deixa-la da seguinte forma:

$| (x-3)+(5+y)i|=6\\ (x-3)^2+(5+y)^2=6^2$

Essa equação é uma equação de circunferência de raio 6

a)b) Quando x=3, obtemos o maior valor e o menor valor possível para y, assim:

$(x-3)^2+(5+y)^2=6^2\\ (3-3)^2+(5+y)^2=6^2 \\ y^2+10y+25=36\\ y^2+10y-11$

Por soma e produto, encontramos que:

$y_{max}=1\\ y_{min}=-11$

c)d) Segundo a mesma lógica para a)b), porém fazendo y=-5. Assim:

$(x-3)^2+(5+y)^2=6^2\\ (x-3)^2+(5-5)^2=6^2 \\ x^2-6x+9=36\\ x^2-6x-27=0$

Por soma e produto:

$x_{max}=9\\ x_{min}=-3$