Question

considerando que u e v são vetores que representam os lados de um paralelogramo e sendo u=(1,0,2) e v=(0,1,2). determine a área do paralelogramo formado, em unidade de área.

Answer 1

Dados dois vetores $\vec{\mathbf{u}}$ e $\vec{\mathbf{v}},$ a área do paralelogramo formado por eles é numericamente igual ao módulo do produto vetorial entre $\vec{\mathbf{u}}$ e $\vec{\mathbf{v}}:$

$A=\|\vec{\mathbf{u}}\times\vec{\mathbf{v}}\|$


$\bullet\;\;$ Calculando o produto vetorial:

$\vec{\mathbf{u}}\times\vec{\mathbf{v}}=(1,\;0,\;2)\times (0,\;1,\;2)\\ \\ \vec{\mathbf{u}}\times\vec{\mathbf{v}}=\det\left[ \begin{array}{ccc} \hat{\mathbf{i}}&\hat{\mathbf{j}}&\hat{\mathbf{k}}\\ 1&0&2\\ 0&1&2 \end{array} \right ]\\ \\ \\ \vec{\mathbf{u}}\times\vec{\mathbf{v}}=-2\hat{\mathbf{i}}-2\hat{\mathbf{j}}+\hat{\mathbf{k}}\\ \\ \vec{\mathbf{u}}\times\vec{\mathbf{v}}=(-2,\;-2,\;1)$


$\bullet\;\;$ A área do paralelogramo é

$A=\|\vec{\mathbf{u}}\times\vec{\mathbf{v}}\|\\ \\ A=\|(-2,\;-2,\;1)\|\\ \\ A=\sqrt{(-2^{2})+(-2)^{2}+1^{2}}\\ \\ A=\sqrt{4+4+1}\\ \\ A=\sqrt{9}\\ \\ A=3\text{ u.a.}$