Considerando que foi determinada a função f(x)=-60.(x-20).(x+5) em um fluxo produtivo, com f(x) representando a quantidade de unidades fabricadas a certo insumo e, x, o tempo disponível de fabricação, quais seriam os domínio, imagem e pontos extremos a esta função? Quais seus significados, de acordo com o contexto apresentado?
Soluções para a tarefa
Resposta:
O domínio de f(x) é o conjunto R dos números reais.
A imagem de f(x) é {x∈R | -9375 <= x < ∞}
O ponto de minimo de f(x) é f(7,5)=09375.
Este resultado significa que são fabricadas menos unidades quando o tempo disponível é de 7,5, e a quantidade aumenta quando o tempo disponível é menor ou maior.
Explicação passo a passo:
O domínio da função é o conjunto R dos números reais, pois a função está definida para todos valores de x.
A função f(x), que é representada por uma parábola, tem o ponto crítico quando a derivada f'(x) é zero.
Derivando, usando a regra da derivada da multiplicação, que pode ser escrita:
h'(x) = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x), onde h(x) = f(x)*g(x),
obtemos:
f'(x) = 60*(x+5) + 60*(x-20) = 60*x + 300 + 60*x - 1200 = 120*x - 900
Então quando f'(x) = 0:
120*x - 900 = 0
=> x = 900/120 = 7,5
No ponto crítico, o valor de f é:
f(7,5) = 60*(7,5-20)*(7,5+5) = -9375
Mas f'(x) = 120*x-900 , então f'(x) < 0 para x < 7,5 e f'(x) > 0 para x > 7,5.
Portanto f(x) é decrescente para x < 7,5 e crescente para x > 7,5. e então x = 7,5 é um ponto de mínimo.
f(x) então varia de f(7,5) = -9375 a ∞, ou seja a imagem de f(x) é igual a:
(-9375, ∞)